2.2.1 综合法和分析法优秀教学设计说课稿

推理与证明

备课人：刘老师

数学归纳法及其应用举例

课时安排

5课时

从容说课

在数学中常常是从已知条件或者定义、公理、定理出发,通过逻辑推理,从而使新的结果获得证明.常用的数学证明方法可以分为演绎法和数学归纳法两大类.演绎法有下面两种形式：(1)直接证法.它的格式可以写成“因为……所以……于是……从而……这就证明了所需的结果”.(2)间接证法.常用的是反证法.它的格式写成“假设所需要的结果不成立,则……于是……从而……这就导出矛盾,因此所需要的结果成立”.反证法有时要与穷举法结合起来运用,即将所需要的结果的反面的所有情况一一列出,然后分别导出矛盾.一般说来,凡能用直接证法证明的命题,一定可以用反法证来证明,反过来也对. 数学归纳法有两种——有限数学归纳法和超限数学归纳法.在现行高三数学选修教材中学生学习有限数学归纳法(即具体的k都是有限的正整数),简称数学归纳法. 数学归纳法的原理是什么？运用时要注意哪些问题？这一点在教学中应值得广大教师高度重视. 数学归纳法的原理是裴雅诺(Peano,1858年~1932年,意大利数学家)公理,其中有一条公理叫做归纳公理：“如果某一正整数的集合M含有1,而且只要M含有正整数k,就一定含有k后面紧挨着的那个正整数k+1,那么M就是正整数集本身.”

现设P(n)是一个与正整数n有关的命题,用M表示使P(n)成立的正整数的集合.由数学归纳法的第一个步骤可知命题P(1)成立,所以M含有1.再由数学归纳法的第二个步骤知当假设了n=k时命题P(k)成立后,可以推出n=k+1时命题P(k+1)也成立；换句话说,只要M含有正整数k,就一定含有k后面紧接着的那个正整数k+1.因此,根据归纳公理,M就是正整数集本身,即命题P(n)对于所有正整数都成立. 数学归纳法的两个步骤缺一不可.根据实际问题确定使命题成立的第一个正整数可能是1,也可能是2、3等等.要确切理解命题P(n)中正整数n在各种实际问题中分别代表什么.在完成第二个步骤时,要运用命题P(k)成立到P(k+1)成立这一归纳假设去推导命题P(k+1)也成立.不能离开P(k)成立这一条件,用其他方法导出P(k+1)成立的结果,因为这样做,就看不出P(k)成立到P(k+1)成立这一递推关系了.有的学生在实施数学归纳法的第一步时,对只验证n取第一个值时命题成立觉得不够放心,又验证了n取下一个值时命题也成立(如证明了当n=1时命题成立后,又去证n=2,3等情况时命题也成立),这是没有必要的. 在本节教学中要注重数学与文化的教学,让学生充分认识到数学中处处有人文精神,鼓励学生探索创造,充分体现课程改革的精神. 第一课时

课

题

数学归纳法(一) 教学目标

一、教学知识点

1.理解数学归纳法原理及证明问题的步骤. 2.了解归纳法的分类：不完全归纳法与完全归纳法. 3.数学归纳法中递推思想的理解. 二、能力训练要求

1.能区分不完全归纳法与完全归纳法；学会由特殊到一般的思维方式. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.

推理与证明

备课人：刘老师

三、德育渗透目标

1.学习数学归纳法,不仅能证明有关问题,更重要的是可以开阔学生的眼界,还可以使他们受到推理论证的训练. 2.培养学生分析问题、解决问题的能力,同时,也让学生感受到数学文化的熏陶,培养学生的科学文化素质(包括数学素养). 3.培养学生的辩证唯物主义观点,由感性认识上升到理性认识. 教学重点

数学归纳法原理及其简单的应用是本节课的教学重点,数学归纳法在讨论涉及正整数无限性的问题时是一种非常重要的方法,它的地位和作用：中学数学中的许多重要结论,用数学归纳法加以证明,可以使学生对有关知识的掌握深化一步. 教学难点

对数学归纳法原理的了解,关键是讲清数学归纳法的两步骤及其作用,数学归纳法的基本思想,即先验证使结论有意义的最小的正整数n0,如果当n=n0时,命题成立,再假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时,命题成立(这时命题是否成立不是确定的),根据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1,n0+2,…,命题都成立,这是问题的重点和难点. 教学方法

建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.数学归纳法的原理是很抽象的,但又与生活中的许多实例是相关的,可以列举大量的实例让学生感受或进行实验,即从做中学,从而上升到理性认识,这就需要抽象概括的能力.于是学生就主动建构了数学归纳法的原理和解决问题的两个步骤.这样课堂教学方法不仅突破了教学的难点,同时也解决了数学课堂枯燥无味的感觉,培养了学生观察社会、热爱生活,真正发挥数学的文化教育功能. 教具准备

1.实物投影仪(或幻灯片、幻灯机)、多媒体课件(游戏：多米诺骨牌) 2.准备一袋红球(18个) 教学过程

Ⅰ.课题导入

最近,我们不少中学生在人民路与竹辉路的十字路口处记录着有关数据,经了解,他们是为该市整体改造、马路拓宽而统计车流量问题,然后交给有关部门,进行归纳提出科学研究方法.科学研究领域中,常用下列模式：

数学发展的长河中,古希腊数学家毕达哥拉斯有关“三角数”的问题. (打出幻灯片,或多媒体课件)显示：

［师］a1,a2,a3,a4分别是多少？

［生］a1=1,a2=3,a3=6,a4=10. ［师］a8等于多少？

［生］让我算一下.a5=10+5=15,a6=15+6=21,a7=21+7=28,a8=28+8=36.

推理与证明

备课人：刘老师

［师］a100=?一般地an=? ［生］(嗯)这个……这个需要研究它们的规律,归纳出它的公式,有了,a1=1,a2=1+2,a3=1+2+3,a4=1+2+3+4,…,an=1+2+3+…+n=n(n1),就是我们高一时学过的2前n个正整数的和公式. ［师］刚才这位同学从几个特殊情况归纳出一般的情况,这种方法,就是我们今天学习的课题：归纳法.(板书) Ⅱ.讲授新课

［师］请看下面几个问题,并由此思考什么是归纳法,归纳法有什么特点？

(打出幻灯片或课件) 问题1：这里有一袋球共18个,我们要判断这一袋球是红球,还是白球,请问怎么办？

［生］把它们倒出来看一看就可以了. ［师］方法是正确的,但操作上缺乏顺序性.顺序操作怎么做？

［众生］(齐声回答)一个一个摸,摸出一个看一个. ［师］对.问题的结果是什么呢？哪一位同学上来演示呢？

［生］(对于平时不爱思考,但好奇心又很强的学生,我们教师要保护他们的积极性)我来摸！请同学们为我记录.第一个红球,第二个红球,第三个红球,…,第十七个红球(这时,他拿出第18只球不放开,让同学们去猜,逗同学们笑！)第十八只也是红球,由此得到：这一袋球都是红球. ［师］再看问题2：已知函数f(x)2x,x1=1,xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N*),则x2,x3,x4的值分x2别为多少？再推测通项xn的公式.(打出幻灯片) ［生］x22122,x3,x4,由此得到xn. 325n1［师］同学们解决以上两个问题用的都是归纳法,你们能说说什么是归纳法,归纳法的特点是什么吗？

［生］归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点是由特殊→一般.(板书) ［师］很好！其实在中学数学中,归纳法我们早就接触到了.例如,高一年级我们在学习数列时,经常遇到给出数列的前几项,求它的一个通项公式,我们用的方法就是归纳法,确定等差数列、等比数列的通项公式,用的也是归纳法,今后的学习中还会看到归纳法的运用. 在生活和生产实践中,归纳法也有着广泛应用.例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测、水文预报,用的就是归纳法.你们看上述两个问题区别在什么地方？

［生］问题1中,一共18个球,全看了,由此得到了结论.问题2,由于自然数有无数个,不可能一一去计算出,这要靠猜想,是依靠前4项体现的规律,进行推测.问题1是全部归纳,而问题2没有完全归纳. ［师］你能给这两种不同的归纳法命名吗？

［生］把研究对象一一都考查后而推出结论的归纳法称为完全归纳法.根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.(板书) ［师］由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法,根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部,分为不完全归纳法和完全归纳法. 不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时,在考察了n=1,2,3,4几种特殊情形后得出的一般公式,就是作的一种不完全归纳.我们已经知道,不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立,所以这种方法并不能作为一种论证方法；同时也应看到,不完全归纳法是研究数学的一把

推理与证明

备课人：刘老师

钥匙,是发现数学规律的一种重要手段.在问题探索中,为了寻求一般规律,往往先考察一些特例,通过对这些特例的不完全归纳形成猜想,然后再试图去证明或否定这种猜想.因而学会用不完全归纳法对问题进行探索,对提高我们的数学能力十分重要. 完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法,又叫做枚举法.与不完全归纳法不同的是,用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时,采用完全归纳法. 我们来看问题3：已知f(n)=-n2+5n-3,证明：当n是不大于4的正整数时,均有f(n)＞0.(放幻灯片) ［生］由于不大于4的所有正整数是1,2,3,4,所以要证明命题在n为不大于4的正整数时均成立,只要证明命题在n=1,2,3,4时均成立即可. 算得f(1)=-12+5×1-3=1, f(2)=-22+5×2-3=3, f(3)=-32+5×3-3=3, f(4)=-42+5×4-3=1. 由于以上4个函数值均是正数,所以我们就证明了当n是不大于4的正整数时,均有f(n)＞0. ［师］他是运用的是什么方法证明此命题的？

［生］他是利用完全归纳法证明的. ［师］你能举出以前学过的内容(包括初中内容)中,所涉及到的完全归纳法吗？

(给学生一点思考、讨论的空间) ［生］学习不等式性质定理5时,我们是用反证法,在反证法中又运用完全归纳法即对nanb与nanb这两种情况都进行了讨论,最后得出矛盾. ［生］我们在初中证明圆周角定理(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)时,是分成三种情况讨论的,由于分别证明了当圆心的位置在圆周角的外部、角的一条边上、角的内部时命题都成立,从而证明了圆心角处于任一位置时命题成立. ……

［师］很好！我们看到,这些例子正是运用完全归纳法来证明命题成立.用不完全归纳法又可以推测命题,推测是要有点勇气的,请大家鼓足勇气研究问题4.(放出幻灯片) 比较2n与n2+2(n∈N*)的大小. (给出一定的计算、思考时间,鼓励学生大胆猜想！) ［生］经过计算,我的结论是：对于任意n∈N*,2n＜n2+2. ［师］你计算了几个数而得到此结论的？

［生］4个. ［师］你算了n=1,n=2,n=3,n=4这4个数,而得到结论,是吧？

［生］对. ［师］有没有不同意见？

［生］我计算n=5,6,7,8时,又出现了2n＞n2+2,而不是2n＜n2+2.他的结论肯定不对. ［师］那你的结论是什么呢？

(动员大家思考,纠正) ［生］我的结论是：当n=1,2,3,4时,2n＜n2+2；当n=5,6,7,8,…时,2n＞n2+2. ［生］我不是计算的,而是利用函数图象看出来的！

推理与证明

备课人：刘老师

图2－1 结论同上面一样. ［师］你是怎样作出图象的呢？

［生］在坐标系内作出函数y=2x与y=x2+2的图象.(这时该生自己走到黑板前,拿起直尺画出了两个函数的图象)当x≥5时,函数y=2x的图象都在抛物线y=x2+2的上方. 于是当n≥5时,2n＞n2+2. ［师］好！从图象上可以看出,当n依次取1,2,3,4,5,…变动时,相应的2n的值以一个是前一个的2倍的速度在增加,而n2+2相应值的增长速度还不到2倍,完全有理由确认,当n取较大值时2n＞n2+2是成立的. 对问题4推测有误的同学完全不必过于自责,接受教训就可以了.其实,在数学史上,一些世界级的数学大师在运用归纳法时,也曾经有过失误. (放出幻灯片,由学生阅读) 费尔马(Fermat)是17世纪法国著名的数学家,他是解析几何的发现者之一,是对微积分的创立作出贡献最多的人之一,是概率论的创始者之一,他对数论也有许多贡献. 但是费尔马曾认为,当n∈N时,22n+1一定都是质数,这是他对n=0,1,2,3,4作了验证后得到的. 18世纪伟大的瑞士数学家欧拉(Euler)却证明了225+1=4294967297=6700417×641,从而否定了费尔马的猜想. ［师］有的同学说,费尔马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的,但是要告诉同学们,失误的关键不在于多算一个或少算一个！

请再看数学史上的另一个资料. (放出幻灯片或多媒体,仍由学生读) f(n)=n2+n+41.当n∈N时,f(n)是否都为质数？

f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131,f(10)=151,…,f(39)=1601.但f(40)=1681=412是合数. ［师］算了39个数不算少了吧！但还是不行.不是说数学大师还出错,我们有错就可以原谅,也不是说归纳法不行,不去学了,而是要找出运用归纳法出错的原因,并研究对策. ［师］归纳法为什么会出错呢？

［生］完全归纳法不会出错. ［师］对！但运用不完全归纳法是不可避免的,它为什么会出错呢？

［生］由于用不完全归纳法时,一般结论是猜想的结果,不具有可靠性. ［师］完全同意.那么怎么办呢？

［生］我们应该给予证明. ［师］大家同意吧？对于生活、生产中的实际问题,得出的结论的正确性,应接受检验.对于数学问题,应寻求数学证明. ［师］怎么证明呢？请结合问题4思考. ［生］作差比较：证明2n-(n2+2)＞0.

推理与证明

备课人：刘老师

［师］能否因式分解？请思考一下,能否不直接计算数值,在25＞52+2的基础上来证明26＞62+2?试试看. ［生］在25＞52+2的两边同时乘以2,得26＞2(52+2), 26＞2×52+4=52+52+1+3＞52+2·521+3(放缩) =52+2·5+1+2=(5+1)2+2=62+2. ［师］完全正确！一般的情况又会怎样呢？

［生］n≥5时,若2n＞n2+2成立, 则2n+1=2×2n＞n2+2n21+3=n2+2n+3=(n2+2n+1)+2=(n+1)2+2. ［生］在由2n2+4向后推的时候,我不用放缩法,而是用作差比较法,请大家看看是否合适.2n2+4-［(n+1)2+2］=2n2+4-(n2+2n+3)=2n2+4-n2-2n-3=n2-2n+1=(n-1)2＞0(∵n≥5).

［众生］正确！这个方法比较自然.我们的最终目标是2n+1＞(n+1)2+2. 2n+1＞2n2+4是解题链条上的中途点,我们只要比较2n2+4与(n+1)2+2的大小即可,于是就自然想到了作差比较. ［师］同学们的总结与概括是完全正确的,你们的解题策略也逐步由感性认识上升到理性认识.对上面问题的解决,你们能总结出一般的证题步骤吗？

［生］第一步,证明n=5时成立；第二步,假设n=k(k≥5)时成立,推出n=k+1时也成立.这样我们就可以推出对n≥5的一切自然数都有2n＞n2+2. ［师］他总结得很好！这种解题思想就是循环递推系统. 生活学习中存在这样的问题,而游戏中的多米诺骨牌也是这样排山倒海之势呈现在你的面前的. (放出幻灯片或多媒体)出现了多米诺骨牌的问题. 你们还可以举一些生活中的例子吗？

［生］一排排放很近的自行车,只要碰倒第一辆,就会倒下一排. ……

［师］这些游戏或生活中实例要取得成功,必须有什么条件作保证呢？

［生］例如骨牌中,第一张牌被推倒,后面所有的都倒了. ［师］是这样吗？请同学们再思考. ［生］还应该有：任何相邻两张牌的距离不能太大,必须保证前一张牌倒后一张牌也必定倒,这样就有传递性,即进入循环递推系统. ［师］正确！用这种思想设计出来的,用于证明不完全归纳法推测所得的命题的正确性的证明方法就叫做数学归纳法.(此时在“归纳法”前补上两个字“数学”)

［师］用数学归纳法证明问题2的猜想是否正确,怎么证明呢？

［生］先证n=1时,公式成立(第一步)；再证明若对某个自然数n=k公式成立,则对下一个自然数n=k+1公式也成立(第二步). ［师］这两步的证明你会吗？请到黑板上书写. ［生］证明：(1)当n=1时,左式=x1=1,右式∴公式成立. (2)假设n=k(k≥1)时,公式成立,即xk2×(n2+2)=2n2+4=n2+n2+1+3＞21. 112.(先说：以此为条件来证明n=k+1时,公式也k1

推理与证明

备课人：刘老师

成立,即xk12也成立) k2∵xk122xk42k1, f(xk)2xk22(1k1)(k1)12k122对一切n∈N*都成立. n1∴当n=k+1时,公式也成立. ∴公式xn［师］于是,由上述两步,命题得到了证明,这就是用数学归纳法进行证明的基本要求. ［师］请小结一下用数学归纳法作证明应有的基本步骤. ［生］共两步(学生说,教师板书). (1)当n=1时,命题成立；

(2)假设当n=k时,命题成立,则当n=k+1时,命题也成立. ［生］其实第一步一般来说,是证明开头者命题成立. 如问题4推测得的命题：当n≥5时,2n＞n2+2,第一步应证明n=5时,命题成立. ［师］补充得很正确！用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：

(1)证明当n取第一个值n0时结论正确；

(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确. 由(1)(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确. Ⅲ.课堂练习

(一)课本P66

1、2、3. (二)补充练习

(2002年全国,理22)设数列｛an｝满足an+1＝an2-nan+1,n＝1,2,3,….

(1)当a1＝2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式. (2)当a1≥3时,证明对所有的n≥1,有

①an≥n+2；

②1111. 1a11a21an2思路分析:本题由递推公式先计算前几项,然后再进行猜想,最后用数学归纳法进行证明;对于(2)中的第①题,要用数学归纳法进行证明;②要利用放缩法证明. (1)解：由a1＝2,得a2＝a12－a1+1＝3, 由a2＝3,得a3＝a22－2a2+1＝4, ∴a3＝4.由a3=4,得a4＝a32－3a3+1=16-3×4+1＝５. 由此猜想an的一个通项公式an＝n+1(n≥1).

下面用数学归纳法进行证明: ①当n=1时,由已知得a1=1+1=2,所以n=1时结论成立. ②假设当n=k时结论成立,即ak=k+1(k∈N*), 当n=k+1时,ak+1=ak2-kak+1=(k+1)2-k·(k+1)+1=k2+2k+1-k2-k+1=k+2=(k+1)+1. ∴当n=k+1时结论也成立. 由①②可知,数列{an}的通项公式为an=n+1. (2)①证明：(数学归纳法) (ⅰ)当n＝1时,a1≥3＝1+2,所以不等式成立

推理与证明

备课人：刘老师

(ⅱ)假设当n＝k时不等式成立,即ak≥k+2,那么, ak+1＝ak(ak－k)+1≥(k+2)(k+2－k)+1=2k+5=k+(k+5)>k+3. 也就是说,当n＝k+1时,ak+1≥(k+1)+2,即不等式也成立. 根据①②可知,对于所有n≥1,有an≥n+2. ②由an+1＝an(an－n)+1及①知,对k≥2,有ak＝ak－1(ak－1－k+1)+1≥ak－1(k－1+2－k+1)+1＝2ak－1+1. ∴ak+1≥2(ak-1+1)≥22(ak-2+1)≥…≥2k-1(a1+1). ∴1ak1n11k1(k≥2).

1a12111n11n1221∴. k1k11a1a1a1a1a13222k1k11k21k11解题回顾:本题是数列与不等式综合题,这也是近几年高考命题的一个新的亮点.对于这种“试验——归纳——猜想——证明”的方法要加强训练,这也是数学归纳法的最大的价值取向.对于第(2)题②也可以用迭代放缩法证明:1+a

k=ak-1(a

2k-1k-1k+1, k-1-k-1)+2≥2ak-1+2=2(ak-1+1)≥2(ak-2+1)≥…≥2(a1+1)≥2(3+1)=2∴11k1.以下求和即可. 1ak2Ⅳ.课时小结

本节课我们学习的内容有：(1)中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,分为完全归纳法和不完全归纳法两类,完全归纳法只局限于有限个元素,而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性,必须用数学归纳法进行严格证明；(3)数学归纳法作为一种证明方法,它的基本思想是递推(递归)思想,它的证明步骤必须是两步,最后还要总结；(4)本节课所涉及的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想. Ⅴ.课后作业

(一)课本P67习题2.1

1、2. (二)预习课本P64~65,例2、例3. 板书设计

数学归纳法(一) 一、归纳法定义

二、归纳法分类完全归纳法不完全归纳法

三、数学归纳法(两个步骤) 问题1:(简要过程) 问题2：(简要过程)x1=1,x2证明过程：(1)n=1时……

(2)n=k时成立,即xkxk+1=…

22,…,xn

3n12, k1

推理与证明

备课人：刘老师

问题3：f(1),f(2),f(3),f(4),….

问题4：2n与n2+2的大小比较. 探索过程：

证明过程(两步). 小结：(1)内容(略). (2)数学思想方法：递推思想、分类思想、函数思想、数形结合. (3)信息→归纳→猜想→论证→检验

(学生课堂练习在实物投影上放).