阅读与思考 九连环教学设计第二课时

高三数学一轮复习教案

一般数列的通项和求和

句容市第三中学

朱金明

一．教学目标

1．

了解简单线性递推式求通项的方法；

2．

掌握数列求和的几种特殊方法.

二．教学重点、难点

简单线性递推数列求通项的待定系数法和累加法、累乘法；一般数列求和的几种特殊方法

三．基础知识

1．求数列通项的常用方法

★①作新数列法-----如构造等差数列与等比数列 若an1kanb，

则可化成(an1x)k(anx)，从而{an + 1 + x}是等比数列，其中x用待定系数法可求. 若数列{an}满足a1 = a，a2 = b，an + 2 = kan + 1 + ban

，

则可化为(an + 2

– xan + 1) = y (an + 1

– xan)，其中x，y可用待定系数法求得，从而{an + 1 –

xan}构成等比数列. 若an + 1an

+ pan

+ qan + 1

= 0，可化成1 + bn1kbnb型. pan1q10，令bn，从而上式变成anan②若anan1f(n)，求an可用叠加法. 最基本形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1

③若anf(n)，求an可用累乘法. an1最基本形式是：an=(an/an－1)(an－1/an－2)…(a2/a1)a1

④归纳、猜想法

2．数列前n项和常用求法

①重要公式

1n(n+1) 2112+22+…+n2=n(n+1)(2n+1) 6113+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2

41+2+…+n=②等差、等比数列求和公式，注意等比数列求和分q=1和q1的情形讨论；

③裂项求和:将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项：应掌握以下常见的裂项：

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1111,nn!(n1)!n!,ctgαctg2α,n(n1)nn1sin21111r1rCnCC,等nnn(n1)!n!(n1)!

④错项相消法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如{anbn}的数列，其中{an}为等差

数列，{bn}为等比数列，均可用此法.

⑤分组求和法：若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.

⑥倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和. 数列通项与求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法 四．基础训练

1.{an}是等差数列，试用倒序相加法推导Sn =a1ann

2a1(1qn)2．{an}是等比数列，公比q≠1时，推导Sn =公式. 1q3．若a1 = 1，且an + am =

an + m

(n，m∈N*)，则an =

. 4．已知a1 = 1，且an + 1 = an + 5．已知a1 = 1，an = 1，则an =

. n(n1)n1an1，则an =

. n6．已知a1 = 1，且an + 1 = 3an + 2，则an =

.. 7．已知a1 = 3，f (x) = x2，且an + 1 = f (an)，则an =

.

. 8．数列1，1+2，1222,122223，…，12222n1，…的前n 项和

. 五．典型例题

题型一：简单的递推式求通项

例1已知a15,an2an13(n2)，求an.

例2已知数列{an}满足3an + 1 + an = 4(n≥1)且a1 = 9，其前n项之和为Sn，则满足

不等式|Sn

–

n

– 6|＜题型二：分组求和

n个例3（1）求数列5，55，555，…，555，…的前n项和

1的最小整数n是

125

（2）Sn123235n(n1)(2n1)

题型三：倒序相加法求和

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例4设fx4x4x2f，利用课本中推导等差数列前n项和的倒序相加法方法，

1求f112…f1110的值为 . 11若设akf()（n是常数且n2,nN),k1,2,3,,(n1),求数列,an的前（n-1）项的和.

题型四：裂项求和

例5

已知二次函数yfx的图像经过坐标原点，其导函数为fx6x2.数列an的前n项和为Sn，点n,SnnN*均在函数yfx的图像上. （1）求数列an的通项公式；

（2）设bnknm3*，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn对所有nN都成20anan1立的最小正整数m.

题型五：分类讨论求和

n例6若数列an中，an2n(1)，求S10和S99. 六．巩固练习

1．直角三角形OAiAi1(i1,2,3,,8)的直角边AiAi11，记aiOAi(i1,2,3,,8),

且OA11，则数列{an}的通项公式为

（

）

A. n

B.

2．设数列an满足：an1annan1，且a12，则an的一个通项公式为an2n

C. 2n

D. n2



. 

. 3．

已知数列an中，a12，anan1(n2)，则an的一个通项公式为an2an114．设数列an为等比数列，Tnna1(n1)a22an1an；已知T11,T24，数列an的公比为

.

5．求

012n★6．求和：Cn3Cn5Cn(2n1)Cn12222n

2n

.

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七．本课小结

八．课后作业

1、数列an的通项公式为an2、 1222324252621nn1(nN),则它的前10项和S10

9921002

.

1 n2n是奇数23、已知数列an中，ann，则它的前2n项和为 . -22 n是偶数

4．已知数列an中，a1公式an。

1，前n项和Sn与an的关系是

Snn(2n1)an

，试求通项312223222225．221102938

★

10222

1016.已知a11,a27,an12an3an1,求an.