1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学内容

《独立性检验的基本思想及初步应用》教学设计

【教材分析】

本节课是人教A版（选修）1—2第一章第二节的内容．在本课之前，学生已经学习过事件的相互独立性，回归分析的基本思想及初步应用。本节课利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，是高中数学知识中体现统计思想的重要课节。

在本节课的教学中，要把重点放在独立性检验的统计学原理上，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤。在独立性检验中，通过典型案例的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和初步应用。独立性检验的基本思想和反证法类似，它们都是假设结论不成立，反证法是在假设结论不成立基础上推出矛盾从而证得结论成立，而独立性检验是在假设结论不成立基础上推出有利于结论成立的小概率事件发生，于是认为结论在很大程度上是成立的。因为小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以有利于结论成立的小概率事件的发生为否定假设提供了有力的证据。

学习独立性检验的目的是“通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用”。这是因为，随着现代信息技术飞速发展，信息传播速度快，人们每天都会接触到影响我们生活的统计方面信息，所以具备一些统计知识已经成为现代人应具备的一种数学素养。

一、教学目标

1.使学生理解分类变量(也称属性变量或定性变量)的含义，体会两个分类变量之间可能具有相关性；

2.通过对典型案例（吸烟和患肺癌有关吗?）的探究，使学生了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法、步骤及应用；

3.鼓励学生体验用多种方法(等高条形图和独立性检验)解决同一问题，并对各种方法的优缺点进行比较；

4.让学生对统计方法有更深刻的认识，体会统计方法应用的广泛性，进一步体会科学的严谨性（如统计可能犯错误，原因可能是收集的数据样本容量小或样本采集不合理，也可能是理论上的漏洞，如在一次实验中，我们假设小概率事件不发生，这一点本身就值得质疑）. 二、教学重点

本节的重点内容是通过实例让学生体会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的一般步骤. 三、教学难点

1.的结构的比较奇特，也来的有点突然，学生可能会提出疑问。

2.如何理解独立性检验的基本思想？

3.独立性检验的一般步骤及背后的理论依据是什么？

4.为什么在最后表达结论的时候要说明“在犯错误的概率不超过XX的前提下”。

四、教学方法

“问题串”为主，“讲授式”为辅的教学模式

五、教学过程设计

创设情境，提出问题

问题1：观察下面两组变量，分析各变量在取不同的值时表示的个体有何差异 （1）体重、身高、学生的姓名 （2）

性别、国籍、宗教信仰、是否吸烟、是否患病

（1中每个变量取不同“值”时，表示不同个体，2中变量每取不同“值”表示个体所属不同的类别

）

变量：分类变量、定量变量

分类变量：

变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量。

问题2在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：

例如，吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等

我们在研究两个定量变量之间的关系时，运用回归分析的基本思想进行回归分析，那么对于分类变量之间的关系该如何分析呢？

本节课就是要学习独立性检验思想在分析分类变量之间关系中的应用。

引例1．为调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果：

那么吸烟是否对患肺癌有影响？估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异？

二、新知介绍

[1]结合具体实例，引入列联表概念

类似于上面的表格，我们称分类变量的汇总统计表为列联表，一般我们只研究两个分类变量只取两个值，这样的列联表称作2×2列联表. 【师】由上述表格能否得出患病与吸烟有关？把握有多大？

【生】引导学生根据数据进行分析

在不吸烟者中患肺癌的比重是 在吸烟者中患肺癌的比重是 结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大。

我们还可以利用等高条形图来观察：

结论：吸烟更容易引发肺癌 教师引导: 上面通过分析数据和图形,得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关,那么事实是否如此呢?我们能够以多大的把握认为”吸烟与患肺癌有关”?能否用统计学观点进一步考察这个问题. 这就是我们这节课要学习的独立性检验的基本思想及其初步应用。

为研究的一般性,在列联表中用字母代替数字

【师】若假设吸烟与患肺癌两个变量没有关系,则应得到什么结论? 【生】在吸烟者中患肺癌的比例约等于不吸烟者中患肺癌的比例,即

a/a+b≈c/c+d

a(c+d) ≈ c(a+b)

ad -bc ≈ 0 【师】若计算ad –bc的结果,由此可以初步得出什么结论? 【生】︱ad –bc︱越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱;︱ad–bc︱越大,说明吸烟与患肺癌之间关系越强. 【师】为使不同的样本容量的数据有统一的评判标准,可构造一个随机变量

其中n=a+b+c+d为样本容量

若假设成立，k2应该很小;若k2很大,说明假设不成立,即两变量有关系.利用上述公式，可计算出问题中的k的观测值为2

同学们肯定会提出同一问题：那么这个值是不是很大？怎样才算很大？

在假设成立的情况下，统计学家估算出每个k对应的概率，形成如下表格（卡方临界值表）

0P(K2k0)0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k

00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2的观测值为k , K2的观测值为k ，如果 k＞ k0

，就以 (1-P(k2≥k0))*100％的把握认为“X与Y有关系”；而这种判断有可能出错，出错的概率不会超过 P(k2≥k0);否则，就认为再犯错误的概率不超过P(k2≥k0)的前提下不能推断“X与Y有关系”。

例如：1、如果k＞10.828,就有99.9％的把握认为x与y有关系；

2、如果k＞5.024,就有97.5％的把握认为x与y有关系；

【师】以上就是独立性检验的基本思想？同学们能否总结什么是独立性检验及独立性检验的步骤？

【生】学生思考、交流、总结

利用随机变量 K

来判断两个分类变量有关系的方法称为独立性检验。

要推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：

（1）提出假设H0：Ⅰ和Ⅱ没有关系；（2）根据2X2列联表与公式计算 k2的观测值k;（3）查对临界值，作出判断。

[2] 新知应用

【师】为了深刻的理解独立性检验思想和在生活中的应用，我们来看下列问题：

例1：在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。利用独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？ 解：根据题目所给数据得到如下列联表：

秃顶

不秃顶

总计

患心脏病

214

451

665

不患心脏病

175

597

772

总计

389

1048

1437

2根据联表中的数据，得到，

所以有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”。

例2.在500人身上试验某种血清预防感冒作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示。

判断这种血清能否起到预防感冒的作用？

使用血清

未感冒

感冒

252

248

276

524

合计

500

500

1000

未使用血清

224

合计

476

解：设H0：感冒与是否使用该血清没有关系。

2582842422167.0751000

K47452650050022因当H0成立时，K2≥6.635的概率约为0.01，故有99%的把握认为该血清能起到预防感冒的作用。

练习1：气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比，所得数据如表所示，问：它们的疗效有无差异？

合计 275 70 345 练习2：为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查的结果列在表中，根据所选择的193个病人的数据，能否作出药的效果和给药方式有关的结论？

有效

无效

合计

口服

58 40 98

注射

课堂小结：

1．列联表与等高条形图

列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有关联关系，而利用等高条形图能形象直观地反映它们之间的差异，进而推断它们之间是否具有关联关系．

2．对独立性检验思想的理解

独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法．先假设“两个分类变量没有关系”成立，计算随机变222量k的值，如果k值很大，说明假设不合理． k越大，两个分类变量有关系的可能性越大．

课外作业：

1、

整理例题、练习题；

2、

学案随堂练习。

合计

64 122 31 71 95 193

复方江剪刀草 胆黄片 有效 184 91 无效 61 9 合计 245 100