1.3 二项式定理（通用）名师课堂实录

二项式定理（一）

一、教学目标：

1．知识技能：

（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广

（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理

2．过程与方法

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式

3．情感、态度、价值观

培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨

二、教学重点、难点

[来源:Zxxk.Com]重点：用计数原理分析(ab)3的展开式得到二项式定理。

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。

三、教学过程

（一）提出问题：

引入：什么是二项式定理？二项式定理研究的是什么？

（二）探究新知

问题1：有3个口袋，每个口袋都同样装有a,b两个小球，现依次从这3个口袋中各取一个小球，共有多少种取法？其中取到2个a球1个b球有几种情况？

问题分析：

利用分类计数原理，由于b确定后，a也随之确定，因此按照b取几个分类：

00①三次都不取b,情况有1种，即c3

,则a3前的系数为c3

11②任一个口袋取b其余取a，情况有c3种，则a2b前的系数为c322③恰有2个口袋取b的情况有c3

种，则ab2前的系数为c3

333④全都取b，情况有c3种，则b前的系数为c3

[来源学科网ZXXK]

01231综上，共有c3+c3+c3+c3=8种取法，其中取到2个a球1个b球有c3种

（ab（)ab（)ab)展开并整理后，各项系数与上面取球问题对比，问题2：将有何联系？

问题分析：可以将多项式展开问题看成3个口袋，每个口袋装有a,b两个小球，则合并同类项后的可得(ab)c3ac3abc3abc3ba3ab3abb3031222333223[来源:Z|xx|k.Com]

思考：(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)=? 1)．(ab)4展开后各项形式分别是什么？

a4

a3b

a2b2

ab3

b4

2)．各项前的系数代表着什么？

各项前的系数

就是在4个括号中选几个取b的方法种数

3)．你能分析说明各项前的系数吗？

00每个都不取b的情况有1种，即c4,则a4前的系数为c4

31恰有1个取b的情况有c14种，则ab前的系数为c4

22恰有2个取b的情况有c4

种，则a2b2前的系数为c4

33恰有3个取b的情况有c4

种，则ab3前的系数为c4

44恰有4个取b的情况有c4种，则b4前的系数为c4

0432223344则

(ab)4c4ac14abc4abc4abc4b[来源学科网ZXXK]

问题3、将(ab)n展开并整理后的多项式是什么？

推广：得二项展开式定理：

一般地，对于nN*有

0nn12n223n33(ab)ncnac1bcnabcnab......narnrrn1nncnab......cnabn1cnb

右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式

rnrrcnab：二项展开式的通项，记作Tr1

02rncn,c1,c,......,c,......,cnnnn：

二项式系数

注1）．二项展开式共有n1项，每项前都有二项式系数

2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此

各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此

22rrn1n1如(1x)n1c1xn

nxcnx...cnx...cnx三、应用（例题）

考点1：求二项式的展开式

例题1、求（3x14)的展开式。

x

考点2：求二项式的展开式中的特定项

14变式1.求（3x)的展开式中第四项的二项式系数

x

和第四项的系数

14变式2.求（3x)的展开式中的常数项

x

14变式3.求（1x（)3x)的展开式中的常数项

x

四、总结与归纳

五、课后作业

课本P31 T1-T4 课本P37 T3-T5

六、板书设计

二项式定理

(ab)2a22abb2

例题(ab)3=?

(ab)4=?

(ab)100=? 0nn12n223n33(ab)ncnac1bcnabcnab......na[来源学§科§网Z§X§X§K]

rnrrn1nncnab......cnabn1cnb

练习

注意：1，

作业

2，

总结