二 综合法与分析法特级教师教学实录

《不等式的证明--分析法与综合法》教学设计

简阳市石桥中学

周军

一、教学内容解析

本节课是人民教育出版社出版的数学教材高二年级第二学期选修4-5《不等式》的第五节的第二课时．本节课是建立在已掌握不等式的基本性质、基本不等式、用比较法证明不等式的基础上，继续学习分析法和综合法证明不等式．

数学证明对于发展逻辑思维能力有着极其重要的作用，通过对证明方法的学习，养成言之有理、论证有据的习惯．数学证明的基本方法包括分析法、综合法、数学归纳法、反证法等．本节课主要学习如何利用分析法与综合法证明不等式．

综合法的特点是正向思维，能利用已有的经验和方法，发挥思维定向的积极作用，有利于发展求同思维．分析法的特点是逆向思维，能增大思维的发散量，克服思维定势的某些消极影响，有利于发展求异思维．证明不等式，既要求能综合运用有关的知识，又要求能选择合理的方法，还要掌握“相等”与“不等”的对立转化，这需要从事物的联系、转化和矛盾发展中去整体把握研究对象．

总之，证明不等式对发展思维能力具有重要的作用，于是不等式的证明在数学教学中的重要作用就凸显出来了．

二、教学目标设置

【教学目标】

1．理解用分析法与综合法证明不等式的基本思路，会运用分析法与综合法解决有关不等式证明的问题；

2．在探索不等式证法的过程中，提升逻辑推理能力，发展正向、逆向的数学思维及数学抽象能力，发展数学表达、交流的能力；在例题阅读的过程中，提升数学阅读能力，形成严谨的思维；

3．在参与数学学习和问题解决的活动中，养成批判思维的习惯，一丝不苟的作风和锲而不舍的精神．

【教学重点】用分析法与综合法证明不等式．

【教学难点】寻找运用分析法、综合法解决问题的策略．

三、学生学情分析

本节课是借班上课，指定对象为简阳市石桥中学高二（4）班的学生，课前1

未与学生有过接触．根据教学进度，可知学生的知识经验是：不等式的基本性质，基本不等式，用比较法证明不等式，以及一定的数学证明能力．

四、教学策略分析

（一）符合学生认知规律的教学活动

1.利用逻辑框图突破分析法

分析法的教学难点在于，让学生理解分析法的逻辑关系是自下而上的，在教学中利用逻辑框图的推出关系，帮助学生理解分析法的思维过程．逻辑框图易于让学生发现分析法的本质，即对欲证明的命题不知从何入手，或者所给条件形式简单而结论复杂的时候，可以采用分析法，亦即从证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个易证明其成立的条件为止．正因如此，需要引入“欲证”、“只需证明”等关键词．分析法的证明过程即为：求证只需证明…只需证明已知．

2.借助分析法引出综合法

综合法是学生比较熟悉的证明方法．它是借助分析法的框图，按照自下而上的书写格式完成证明，即从已知条件出发，利用定义、公理、定理为基础，在严密的演绎推理下，推导出所要证明的结论，通常把这种证明方法称为综合法．综合法的证明过程为：已知可知…可知求证，就是依次得出已知的一系列的必要条件，且最后一个必须包含要证明的命题的结论时，命题得证．在证明时，要善于观察题目的特点，寻求已知和求证之间沟通的线索．在本章不等式的证明中，利用综合法证明不等式时，常用到基本不等式等结论，为此本节课综合法的教学中要引导学生学会观察欲证的不等式的特点，如不等号方向、系数特征、次数特征、项数特征等，帮助学生理清综合法的证明思路．

3.建立关联，融会贯通

学生在了解了上述两种证明方法后，可以感悟到证明不等式可根据题目的特点选择分析法与综合法．如果题目的已知和求证之间关系脉络清晰、容易沟通，那么考虑用综合法；如果看不出要求证的不等式与已知条件的关系时，那么可以利用分析法，寻求到易于证明的已知的充分条件，然后再证明．分析法、综合法看似是两种方法，但他们只是证明方法的名称，他们之间是有区别也有联系的，有时他们是单独地运用，有时两种方法会同时使用，如例题3的变式2就是分析2

法、综合法结合的例题．事实上，实际问题经常是综合法、分析法的应用或综合应用，我们也可以理解为：由“已知”推导“可知”，由“求证”探究“只需证明”，最后建立“可知”与“只需证明”的关系的思维过程．本节课教学的较高层次目标是让学生能感悟到，分析法和综合法只是证明方法的名称，而真正精髓的是思考问题的过程与方法，正如“手中无剑、心中有剑”是练功的最高境界，证明不等式也一样．

（二）关注学生学习体验的教学环节

1.文化熏陶，趣题引入

“大胆猜想，小心求证”是科学研究的基本要求，数学证明在数学史的长河中有着重要的地位．在现实生活中，等量关系是相对的，不等量关系是绝对的，因此，不等式的证明比等式的证明更重要．这是本节课的开场白，通过提纲挈领的数学文化熏陶，让学生充分感悟到不等式证明在数学教学中的重要性．之后通过趣味迷宫题——小狗找骨头，让学生在解决该问题过程中进行类比迁移，引出分析法．

2.数学阅读，自主探索

数学阅读是数学学习的基本环节，阅读过程是学生思考和创造的过程，是学生获取数学新知识的主要手段之一．数学阅读也是发展学生智力、提升学生数学素养的重要途径．本节课设置了学生阅读教材例题的环节，让学生经历自主探索的过程，同时引导学生关注证明的多种方法以及书写证明题时的严谨表达，提高数学阅读的有效性．

3.理性构建，回归本质

学生通过本节课的学习，可以感悟到证明不等式要先理解题意，然后根据题目的特点拟定证明方案，然后再完成证明．证明结束后要养成回顾的好习惯，即回看自己的证明过程，如果用的是综合法，那么每一步推出的是否都是已知的必要条件，如果用的是分析法，那么检查只需证明的命题是否是要求证的命题的充分条件，逻辑关系不能出错．因此，证明不等式可以归纳为“理解题目”、“拟订方案”、“执行方案”和“回顾”四大步骤．事实上，这是解决一类数学问题的方法，更是解决生活中很多问题的方法，从而让学生可以更深刻的感悟到数学不仅是工具，更是一种文化．

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五、教学过程

（一）趣题引入，类比迁移

给出迷宫图，思考走迷宫的方法．

〖设计意图〗从解决走迷宫问题的方法入手，提炼出解决一类问题的方法，感悟在解决数学问题时，同样需要找到合适的方法，才能巧夺天工．

（二）执果索因，妙用分析

例1

求证：137．

〖设计意图〗以一道纯数字比较大小的题目作为分析法引入的第一道例题，旨在通过简单问题让学生感悟分析法的证明过程，即寻求欲证不等式成立的充分条件的过程．在表述时，要注意“欲证……”，“只需证明……”等语句的含义和正确使用，注意表达的逻辑性．

例2

已知xy0,求证xyxy．

学生活动：证明例2，并阅读教材．

〖设计意图〗学生在自行证明后进行自主阅读，加深对分析法的理解，发展勇于探索发现问题的学习品质及数学阅读的能力．

（三）由因导果，引出综合

学生活动：回顾例题1，引出综合法．

〖设计意图〗借助例题1的分析法框图，按照自下而上的书写格式完成证明是学生比较熟悉的证明方法，即从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步推导，直到推出要证明的结论为止，即综合法．

例3

已知a0,b0,求证：ab22(ab)．

〖设计意图〗通过分析本题中已知、欲证不等式的结构特点，让学生感悟在用综合法证明不等式的过程中，要善于观察，灵活运用已学的定理、性质等解决不等式的证明问题．

（四）理性构建，回归本质

学生活动：提炼证明不等式的步骤．

〖设计意图〗通过上述几个例题，学生对利用分析法、综合法证明不等式的基本思路和书写格式有了较为具体的感受．在此基础上，需要引导学生进行归纳4

总结，形成解决一类问题的方法．

（五）感悟方法，融会贯通

例3

已知a0,b0,求证：ab22(ab)．

变式1 已知ai0,i1,2,,n，

求证：a1a2...ann2(a1a2...an). 变式2

已知a0,b0,且ab1，求证：a1b16．

〖设计意图〗在例题3之后，设计了两道变式题，让学生体会灵活应用分析法与综合法解决不等式的证明．学生能够真正感悟到，分析法和综合法只是证明方法的名称，而真正精髓的是思考问题的过程与方法．

（六）归纳小结，反思升华

1．通过这堂课，你学到了什么？

2．你还有一些什么想法？

〖设计意图〗学生小结，不仅是单纯的知识罗列，而且是提炼出在知识形成过程中所体现的数学思想方法以及研究数学问题的一般方法．

（七）布置作业，巩固新知

1．阅读教材：P48 例3、例4；

2．练习册2.5 A组：3、4、5．

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