阅读与思考 九连环教案板书设计

《九连环的解法及蕴含的数列知识》教学设计

山西省孝义中学校 李

芳

（《普通高中课程标准实验教科书》数学必修5第59页“阅读与思考”）

教学目标：

（一）知识目标：1、九连环的解法；

2、解九连环的步数与数列的关系。

（二）能力目标：通过玩九连环，提高学生的动手、动脑能力，锻 炼学生知识的迁移能力和逻辑推理能力。

（三）情感目标：培养学生的耐心和信心，让学生体会化归与转

化、分类讨论、数形结合的数学思想。

教学重点：解九连环的方法。

教学难点：解九连环的步数与数列关系的探究。 教学过程：

一、九连环的历史背景：

九连环的起源年代难以确定，但是“解连环”这个概念起码

在战国时期（公元前475-221）就存于中国文化中。

民间有一句谚语为“解不开的歧中易，摘不下的九连环”来比喻某种比较难解的益智谜题。其实，只要掌握了一些基本规则，就不是很难了。

二、九连环的结构：

九连环主要由九个圆环及框架组成。每一个圆环上都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用板或

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圆环相对固定住。圆环在框架上可以解下或套上。玩九连环就是要把这九个圆环全部从框架解下或套上。

三、九连环的解法：

（一）注意几招：

1) 1号环可以自由下（上）；

2) 1号、2号环可以同时下（上）；

3) 如果所有的环都在柄上，那么第一步可以有两个选择：取下第一环；或取下第一、二号环；

4) 当要解的环数是奇数时，第一步必须是将第一环取下；当要解的环数是偶数时，第一步则是要将第一、二号环取下。

（二）基本规则：

要想下(上)第n号环，就必须满足两个条件,第1,2号环

外。(n>2) 1) 第n-1号环在架上；

2) 第n-1号环前面的所有环不在架上。

（三）思考：

1) 解3连环、解4连环分别最少需要多少步？

2) 解9连环最少需要多少步？

分析：要下(上)3号环，需2号环在架上，1号环在架下-----4步(下1下3上1下12) 要下(上)4号环，需3号环在架上，2号、1号环在

架下-----7步(下12下4上12下1下3上1下12) 类比：解5连环?

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（四）探究解九连环所需最少步数：

1）1，1, 4，7, 16，31, 64，127, 256---简单解法

设an表示解“n连环”的步数，则：a11，a21,a3a11a1a2a22a114,a4a21a2a3a32a217,a5a31a3a4a42a3116,......a9a82a71256.2）1，2, 5，10，21, 42, 85, 170, 341---完全解法 （1号、2号不是同时解，分两步）

递推关系与上面相同：

anan21an2an1an12an21

（五）由递推公式推导通项公式

考虑n

连环的情况：用K(n)表示解下n连环所需最少的步数。再用k(n)表示前n1个圆环都解下后，再解下第n个环所需的步数。递推关系如下：

K(n)K(n2)1k(n1); k(1)1,k(n)2k(n1)1.

结合求通项的基本方法可得：

2n12,n为偶数3nk(n)21;K(n)n121，n为奇数

3

3

19+1-1）=341。

于是，K(9)=（23四、课堂小结：

1）解九连环的方法，所需步数与数列的关系；

2）数学思想：化归与转化、分类讨论、数形结合。

五、课堂检测：

解九连环速度大比拼。

六、课后作业：

1）熟练九连环的解法；

2）推导解九连环步数的通项公式。

板书设计：

九连环的玩法

一、结构 四、小结

二、解法

三、与数列关系

教学反思：

通过与学生共同探究“九连环的解法”，并思考“解法步数与数列关系”的教学过程，我和学生体会到了中国数学文化的深远；动手动脑的过程，激发了学生的学习兴趣；将九连环解法步数与数列递推式联系，并推导出了通项公式，学生加深了对数列知识的理解；教学中数学文化和数学思想的渗透，学生的数学素养又有了进一步提升。

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