1.1 回归分析的基本思想及其初步应用教学设计实例

回归分析的基本思想及其初步应用

预习课本P2～8，思考并完成以下问题

1．什么是回归分析？

2．什么是线性回归模型？

3．求线性回归方程的步骤是什么？

[新知初探]

1．回归分析

(1)回归分析

回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

(2)回归方程的相关计算

对于两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．设其回归直线方程为^y＝^bx＋^a，其中^a，^b是待定参数，由最小二乘法得

^b＝i＝1

xi－xyi－yxiyi－nx

yi＝1nnni＝1

xi－x2n＝，

i＝12x2i－nx^a＝y－^bx．

(3)线性回归模型

y＝bx＋a＋e，线性回归模型2，其中a，b为模型的未知参数，通常eEe＝0，De＝σ为随机变量，称为随机误差．x称为解释变量，y称为预报变量．

[点睛]

对线性回归模型的三点说明

(1)非确定性关系：线性回归模型y＝bx＋a＋e与确定性函数y＝a＋bx相比，它表示y与x之间是统计相关关系(非确定性关系)，其中的随机误差e提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值a，b的工具．

^(2)线性回归方程^y＝^bx＋^a中^a，b的意义是：以^a为基数，x每增加1个单位，y相应地平均增加^b个单位．

2．线性回归分析

(1)残差：对于样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的随机误差的估计值

^ei＝yi－^yi称为相应于点(xi，yi)的残差，

(yi－^yi)2称为残差平方和．

i＝1n(2)残差图：利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，

横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图．

yi2

yi－^nni＝1(3)R＝1－2越接近1，表示回归的效果越好．

i＝1

yi－y2[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)残差平方和越小，

线性回归方程的拟合效果越好．(

) (2)在画两个变量的散点图时，

预报变量在x轴上，解释变量在y轴上．(

) (3)R2越小，

线性回归方程的拟合效果越好．(

) 答案：(1)√

(2)×

(3)×

2．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，

两个变量的这种相关关系称为________．

答案：正相关

3．在残差分析中，

残差图的纵坐标为________．

答案：残差

4．如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，

则残差平方和等于________，

解释变量和预报变量之间的相关系数等于________．

答案：0

1或－1

求线性回归方程

[典例]

某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据

x y 6

2

8

3

10

5

12 6 (1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程

^y＝^^bx＋a；

(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．

[解]

(1)散点图如图：

(2)xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，

i＝1nx＝n6＋8＋10＋122＋3＋5＋6＝9，y＝＝4，

44i＝12222x2i＝6＋8＋10＋12＝344．

158－4×9×414^b＝＝0．7，^a＝y－^bx＝4－0．7×9＝－2．3，

2＝20344－4×9故线性回归方程为^y＝0．7x－2．3．

(3)由(2)中线性回归方程知，当x＝9时，^y＝0．7×9－2．3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4．

求线性回归方程的三个步骤

(1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系．

(2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数．

(3)写方程：写出线性回归方程，并利用线性回归方程进行预测说明．

[活学活用]

某工厂1～8月份某种产品的产量与成本的统计数据见下表：

月份

产量(吨)

成本(万元)

1

2

3

4

5

6

7

8 5．6

6．0

6．1

6．4

7．0

7．5

8．0

8．2 130

136

143

149

157

172

183

188 以产量为x，成本为y．

(1)画出散点图；

(2)y与x是否具有线性相关关系？若有，求出其回归方程．

解：(1)由表画出散点图，如图所示．

(2)从上图可看出，这些点基本上散布在一条直线附近，可以认为x和y线性相关关系显著，下面求其回归方程，首先列出下表．

1

2

3

4

5

6

7

xi

5．6

6．0

6．1

6．4

7．0

7．5

8．0

yi

130

136

143

149

157

172

183

x2i

xiyi

31．36

728．0 36．00

816．0 37．21

872．3 40．96

953．6 49．00

1 099．0 56．25

1 290．0 64．00

1 464．0

8

8．2

188

67．24

1 541．6 ∑

54．8

1 258

382．02

8 764．5 计算得x＝6．85，y＝157．25．

∴^b＝i＝18xiyi－8xy

8i＝12x2i－8x8 764.5－8×6.85×157.25＝≈22．17，

382.02－8×6.852^a＝y－^bx＝157．25－22．17×6．85≈5．39，

^故线性回归方程为y＝22．17x＋5．39．

题点一：线性回归分析

1．在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：

x y 14

12

16

10

18

7

20

5

22 3 回归分析

求出y对x的回归直线方程，并说明拟合效果的程度．

1解：x＝(14＋16＋18＋20＋22)＝18，

51y＝(12＋10＋7＋5＋3)＝7．4．

522222x2i＝14＋16＋18＋20＋22＝1 660，

5i＝1i＝1xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，

55可得回归系数^b＝i＝15xiyi－5xy620－5×18×7.4＝＝－1．15．

1 660－5×182i＝12x2i－5x

所以^a＝7．4＋1．15×18＝28．1 所以回归直线方程：^y＝－1．15x＋28．1．

列出残差表：

yi－^yi

yi－y

50

0．3

－0．4

－0．1

0．2 4．6

2．6

－0．4

－2．4

－4．4 5^2则

(yi－yi)＝0．3，

(yi－y)2＝53．2．

i＝1i＝1