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§2.4 正态分布(第二课) 广州市番禺区南村中学—郭红

学习目标

1．进一步了解正态曲线的形状、特点；2．能熟练求服从正态分布的随机变量X的概率分布．

学习过程

复习1：正太曲线函数f(x)12ex22的定义域是

；它是

（奇或偶）函数；

当x

时，函数有最

值，是

．

2：正态曲线：函数,(x)12e(x)222，x(,)，（其中实数和(0)为参数）的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

下列函数是正态密度函数的是（

）

A．f(x)12(x)2e2222

，,(0)是实数

B．f(x)e

2

D．f(x)x2C．f(x)122e(x1)2412e

x223：正态分布：

如果对于任何实数ab，随机变量X满足，P(aXb)=

，

则称X的分布为正态分布．

记作：X～N（

）．

4：正态曲线的特点：

（1）曲线位于x轴

，与x轴

；

（2）曲线是单峰的，它关于直线

对称；

（3）曲线在

处达到峰值

；

（4）曲线与x轴之间的面积为

．

5：正态曲线随着和的变化情况：

①当一定时，曲线随着的变化而沿x轴

；

②当一定时，曲线的

由确定．

，表示总体的分布越

；越大，曲线越“

”，表示总体的分布越小，曲线越“

”越

．

6：正态分布中的三个概率：

P(X)

P(2X2)

；

P(3X3)

．

7：小概率事件与3原则：

在一次试验中几乎不可能发生，则随机变量X的取值范围是

．

典型例题

例1．在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即～N(90,100)．

来源:学科网]（1）试求考试成绩位于区间（70，110）上的概率是多少？

（2）若这次考试共有

2000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？

当堂练习

1.若f(x)12e(x1)22，则下列正确的是（

）．

A．有最大值、最小值

B．有最大值，无最小值

C．无最大值，有最小值

D．无最大值、最小值

22．若随机变量X～N(5,2)，则P(3X7)

．

课后强化训练

一、选择题

1．下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是(

)(x－1)211(x－2)2A．f(x)＝e－2

B．f(x)＝e

2π2π·σ2σ2(x－μ)2(x－μ)211C．f(x)＝e－2σ2

D．f(x)＝e－2π

2π2πσ[来源学科网ZXXK]

2．已知ξ～N(0,62)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)等于(

) A．0.1

B．0.2

C．0.6

D．0.8 3．若随机变量ξ～N(2,100)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于(

) A．2

B．10

C.2

D．可以是任意实数

4．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内(

) A．(90,110]

B．(95,125]

C．(100,120]

D．(105,115]

5．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(

) A．0.477

B．0.628

C．0.954

D．0.977 26．(2008·安徽)设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(

)

A．μ1<μ2，σ1<σ2

B．μ1<μ2，σ1>σ2

C．μ1>μ2，σ1<σ2

D．μ1>μ2，σ1>σ2

二、填空题

(x－3)217．正态变量的概率密度函数f(x)＝e－2，x∈R的图象关于直线________对称，f(x)的最2π大值为________．

10．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为____________．

11．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．

三、解答题

12．(2010·邯郸高二检测)设随机变量ξ～N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ

[来源:Zxxk.Com]

13．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？