复习参考题优质课教学设计

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第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布列

第五节、离散型随机变量的分布列

本节主要包括2个知识点：

1.离散型随机变量的分布列的性质；

2.离散型随机变量的分布列.

离散型随机变量分布列的性质

一、知识梳理：

1．随机变量的有关概念

(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．

(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．

2．离散型随机变量分布列的概念及性质

(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：

X P x1

p1

x2

p2

…

…

xi

pi

…

…

xn

pn



此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．

(2)分布列的性质：①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②pi＝1. i＝1n

二、考点突破

离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：

(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；

(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；

(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．

[例1]

(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为：

X －1

0

1

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P 则q的值为(

) A．1

333C.－

261

32－3q q2

333B.±

26333D.＋

26a(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，nn＋1(2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝15则P＜X＜的值为(

) 222A.

34C.

5[解析]

(1)由分布列的性质知

3

B.

45

D.

6q≥0，13＋2－3q＋q＝1，222－3q≥0，

333∴q＝－. 26111145(2)由1×2＋2×3＋3×4＋4×5×a＝1，知a＝1.∴a＝. 541515155＜X＜＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝. 故P2224646[答案

(1)C

(2)D

[易错提醒] 利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．

求离散型随机变量的分布列

知识梳理

1．常见的离散型随机变量的分布列

(1)两点分布

X P 0

1－p 1 p

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若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．

(2)超几何分布

nkCkMCN－M在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，CnN－k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. X P

如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．

二、考点突破

[例2]

4支圆珠笔标价分别为2元，3元，4元，5元，

（1）从中任取1支，求其标价X的分布列

（2）从中任取2支，若以Y表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y的分布列

[例3]

某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

日销售量(件)

频数

0

1

1

5

2

9

3 5 0

n0C0MCN－M

CnN－1

n1C1MCN－M

CnN－…

…

m

nmCmMCN－M

nCN－试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．

(1)求当天商店不进货的概率；

(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．

[解]

(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝153＋＝. 202010(2)由题意知，X的可能取值为2,3. P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝51＝，

204

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P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为131953或PX＝3＝1－PX＝2＝1－＝

3件)＝＋＋＝.442020204所以X的分布列为

X P [方法技巧] 求离散型随机变量分布列的步骤

(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)；

(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；

(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．

三、课堂练习：

1、设X是一个离散型随机变量，其分布列为：

X P －1 0.5 0 1－2q 1 q2 2

1

43 3

4则q的值为

(

) A．1

B.

C.

D.

2、某技术公司新开发了A，B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标

[70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]

产品A 8 12 40 32 8

产品B 7 18 40 29 6

(1)试分别估计产品A、产品B为正品的概率；

(2)生产一件产品A，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元，在(1)的前提下，记X为生产一件产品A和一件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列。

四、课后思考、

某射手射击一次所得环数X的分布列如下：

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X P 7 0.1 8 0.4 9 0.3 10 0.2 现该射手进行两次射击，以两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ，则ξ的分布列为________．

五、课后作业：《优化设计》P197、198