3.三个正数的算术-几何平均不等式教学目标设计

1.3三个正数的算术平均数

与几何平均数

山西省柳林县汇丰中学

裴学豹

一、教学内容分析

《三个正数的算术平均数

与几何平均数

》是人教A版选修4-5第一讲第一节的知识内容，是在学完两个正数的基本不等式的基础上的进一步研究，应用类比思想引导学生归纳猜想最后得到定理。既是对两个正数的基本不等式的加深，同时通过两个和三个的进一步为n的推广做了铺垫。

二、教学目标设置

新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程，也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程，根据新课标要求，

制定如下教学目标：

1.知识目标：

了解三个正数的算术-几何平均不等式;了解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式及n个正数不等式的推广; 2.能力目标：学生经历不等式的推导过程，体会“类比”的数学思想，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力。

3.情感目标：，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐，激励学生学习的热情，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。

三、学生情况分析

刚学过两个正数的基本不等式的知识和应用

，所以学起来相对容易，他们具有一般的归纳推理能力，学生思维也较活跃，但创新思维能力较弱。所以还需用逐步引导，让学生能灵活应用数学知识和数学思想来解题。

四、教学策略分析

本课以实际问题的提出、问题的解决为主线，倡导学生主动参与，通过不断探究发现，在师生互动和生生互动中完成基本不等式的应用

探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。

制作多媒体课件，以增加课堂容量及知识的直观性，从而提高学生学习的兴趣，使学生进一步加深对定理，概念的理解。

五、教学过程

情境引入

问题：某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售

量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系

式y= +10(x-6)2,其中3

格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.

(1)求a的值.

(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大

设计意图：通过学生熟悉的实际问题引入，目的是为了让学生了解知识发生，发展的过程，激发学生学习兴趣 知识回顾

基本不等式

≥

.

（1）基本不等式成立的条件是____________ (2)等号成立的条件：当且仅当________时，等号成立。

（3）两个平均数：

为a、b的算术平均,

为a、b的几何平均.两个正数的算术平均__________它们的几何平均。

设计意图：让学生熟练上节学过的基本不等式，为本节做好知识准备

利用基本不等式求最值的注意事项 已知x>0,y>0,则

(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当

时,x+y有最小值

,简记:积定和最小. (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当

时,xy有最大值

,简记:和定积最大.

应用基本不等式求最值时的三个条件:__________________ 设计意图：强调不等式求最值得条件，注重数学知识应用的严谨性。

新知呈现

定理3：如果a，b，c∈R＋，那么＝b＝c时，等号成立．

即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．

如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

（观察形式，体现类比思想）

推广

对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平a＋b＋c3≥abc，当且仅当a3a1＋a2＋…＋ann均，即≥a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号n成立

知识应用

利用不等式求最值

3例1 （1）函数yx1232x1x的最大值

2

（2求函数yx4x12x1的最小值）

（设计意图：熟练定理，体会转化思想，配凑法）

方法小结：

1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a>0，b>0. (2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．

2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．

利用不等式解决实际问题

某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售

量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系

式y= +10(x-6)2,其中3

格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (1)求a的值. (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【解析】(1)因为x=5时,y=11, 所以 +10=11,所以a=2.

(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y= +10(x-6)2, 所以商场每日销售该商品所获得的利润

f(x)=(x-3) =2+10(x-3)(x-6)2, 3

设计意图：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，建立函数关系式，然后求最值一方面是对本节引入的解释，另一方面让学生体会基本不等式在实际问题中的应用，体现知识的灵活性。）

课堂小结

本节课你有什么收获？

1、数学知识 （1）三个正数的平均不等式 （2）平均不等式的应用

2、数学思想方法 数学思想：类比、转化 数学方法：配凑、建模 设计意图：小结可以锻炼学生的概括能力，语言表达能力，使学生对本节课的知识脉络更加清晰，掌握基本数学思维方法。

作业布置

《问题导学案》15页展题（1）（2）（3） 16页 5、6、7