2.2.2 反证法优秀公开课教案

《2.2.2反证法》教学设计

安顺一中数学组 杨玲

一、教材内容分析: 反证法是人教A版数学选修2—2第二章“推理与证明”第二节间接证明的内容，又称归谬法。中学阶段，是形成价值观的重要阶段。这些信息在学生头脑中留下各种是或非的印象，如何取其精华，去其糟粕？学生可以利用反证法。我们现行的教材中，许多的内容可以说是矛盾的，反证的批判思想有助于学生正确的认识客观世界。学生如果能正确的分析问题，不是被动接受书本或是教师的灌输，对其今后的学习、工作，无疑将有很大的帮助。

二、学生学习情况分析：

本节内容在初中就有接触，反证法的逻辑结构并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的。所教学生是理科普通班，数学思维一般，对于反证法证明简单命题问题不大。但由于学生对数的了解不多，研究不够，所以例题有困难。

三、设计思想

本节课的设计遵循问题引领的原则，通过提出问题，合作讨论，合情推理，操作确认，归纳出反证法的概念：反证法的基本步骤：反证法的应用关键；适合用反证法证明的四类问题：将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索的学习习惯，提高学生的数学逻辑思维能力。

四、教学目标

知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

情感、态度、价值观：

（1）在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；

渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。

（2）通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。

五、教学重点与难点

重点：1、理解反证法的概念，

2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，

3、用反证法证明简单的命题。

难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。

六、学法指导

通过自学和范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，总结反证法证题的基本步骤。法国数学家阿达玛曾说过：“反证法的证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”。反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题。这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会。

【教学过程】

1、复习回顾

上节课我们学习了用 ， 直接证明问题的方法。但是有的问题是显然成立的或要分成多种情况进行讨论。我们再用直接方法就显的比较困难或麻烦，那么证明一个问题的成立是不是还有其他的方法呢？这节课我们就来学习用间接的方法证明一个问题是成立的——反证法。

2、情景创设：

孔戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有孔戎站在原地不动.有人问王戎为什么? 孔戎答:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。

孔戎是怎样知道李子是苦的？你认为他的判断方法正确吗？他运用了怎样的推理方法？

【设计意图】：通过对这个问题的解答，使学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.导入新课。此环节旨在提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持良好、积极的情感体验。

3、合作探究

探究一：A、B、C三人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎，则C必定是在撒谎，为什么？

探究二：将9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗？

通过对这两个探究问题的解答，有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤。

定义：反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。

【反证法证题的基本步骤】

1．假设原命题的结论不成立；（假设）

2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）

3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）

4、例题讲解

【例1】求证：2是无理数

【设计意图】：本例的难点是学生对无理数的了解很少，许多学生对有理数的表示也不太熟悉，因此用反证法的矛盾的方向不明确，教学中要逐步引导到位

【例2】证明方程23有且只有一个根。

【设计意图】：结论中含“只有一个”，如果从正面证明比较困难，而从反面证明，只要研究一种情形，故采用反证法. 【归纳反证法步骤】

（1）

反设——假设命题的结论不成立；

（2）

归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；

（3）

结论——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。

【归纳矛盾的主要类型】

（1）与已知条件矛盾；

（2）与已有公理、定理、定义矛盾；

（3）自相矛盾。

【归纳应用反证法的情形】

（1）直接证明困难; （2）需分成很多类进行讨论．

（3）结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”

类命题；

（4）结论为

“唯一”类命题；

x

【常见否定用语】

是－－－不是

有－－－没有

等－－－不等

成立－－不成立

都是－－不都是，即至少有一个不是

都有－－不都有，即至少有一个没有

都不是－部分或全部是，即至少有一个是

唯一－－至少有两个

至少有一个－－一个都没有

至少有一个不－－－－－全部都

七、课堂小结：

1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?（①反设；②归谬；③结论）

2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些？（用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾，与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等。）

八、作业：

1. 证明方程axb,(a0)有且只有一个根。

2. 求证：n,n1,n3(nN)不可能成等差数列。

九、板书设计

课题：反证法

反证法定义

反证法步骤

例题分析

训练

小结

作业