3.1.2 复数的几何意义教学实录

§ 3.1.1数系的扩充和复数的概念教学设计

高二数学组

刘凤

[教学目标] 1、通过方程在实数集中无解的情况，了解复数的引入过程；

2、掌握复数的代数形式和与复数相关的概念，能充分认识复数集；

3、理解复数的几何意义，能利用复数的向量表示、复数相等及复数的模解决相关问题；

[教学过程] 1、知识引入

2提出问题：“方程x+1=0在实数集中有根吗？这个问题要如何解决？”

设计意图：引发知识冲突，用“2个饼平均分给5个人不能在自然数集中解决，所以提出有理数集”和“直角边都为1的直角三角形的斜边长不能在有理数集中解决，所以提出无理数集”等问题，引导学生要解决这个问题，必须得扩充实数集。

2、学生自学

用PPT展示本节课的学习目标，让学生自行看书。

设计意图：督促学生阅读教材，并能从文字中自行获取到重要的信息，让学生带着问题去思考，去看书寻找答案。

3、新知讲解

（1）复数的概念

我们把形如a+bi（a∈R，b∈R）的数叫做复数，通常用字母z来表示，即z=a+bi，其中i叫做虚数单位，a与b分别叫做复数z的实部和虚部。

强调：①这是一个形式化的定义，只要符合“a+bi”这种形式的数都叫做复

数；②i为虚数单位，i2=-1；③复数z的虚部是实数b，而不是bi这个整体。

例题1：请指出下列复数的实部和虚部

（1）z=-1+√3i （2）z=2+i （3）z=3 （4）z=-2i （5）z=x+1+(x-1)i 设计意图：学生自学后，由师生一起对知识进行合理的总结梳理，统一认知。设计例1是要让学生清楚地认识复数的虚部和实部，也提醒学生应同时关注复数的实部和虚部。

（2）复数集及复数的分类

我们把集合C={a+bi｜a∈R，b∈R}称为复数集。

①当b=0时，a+bi为实数；

②当b≠0时，a+bi为虚数；

③特别地，当a=0，b≠0时，a+bi为纯虚数；

强调：｛虚数集}∪｛实数集}=｛复数集}，｛纯虚数集}｛虚数集}

例题2：当m为何值时，z=(m-3m)+(m-m-6)i,m∈R是实数？是虚数？是纯虚数？

设计意图：让学生充分认识到复数集是对实数集的扩充，并且要能对复数进行分类，进一步深化对复数概念认识。例2主要是强化分类讨论思想，考查复数的分类，也考查了学生在考虑问题时的全面性。

（3）复数的几何意义

①以平面直角坐标系中的x轴为实轴，y轴为虚轴，建立的平面为复平面；这样任意的复数都与复平面内的点形成一一对应的关系，即：

复数z=a+bi

点z（a，b）

②任意的复数也与平面内的向量形成一一对应的关系，即：

复数z=a+bi

向量OZ=（a，b）

（图形演示，直观感知）

向量OZ 的模叫做复数z的模，即：zabiOZa2b2

强调：我们以后将对复数，复平面内的点，平面向量不加以区分。

思考：①任意两个复数能比较大小吗？如果能，何种情况下？

②复数a+bi与c+di相等的充要条件是什么？

例题3：（1）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，向量OA，OB对应的复数分别为2-3i，-3+2i，则向量BA对应的复数为 （2）已知0a22，复数z的实部为a，虚部为1，在z的取值范围为

（3）若(x+y)i=x-1，其中x，y∈R，则x= ，y= 设计意图：除复数的代数形式外，复数的几何意义也在复数的运算中起到关键的作用，为下一节复数的运算的学习打下基础，也让学生体会到复数是二维空间中的数，从“形”的角度去认识复数。例3考查复数的向量表示、复数相等及复数的模等知识，全面地检测学生对复数几何意义的认识。

4、课堂小结

（1）复数的引入

（2）复数的代数形式a+bi，复数的相关概念（虚数单位、实部、虚部等）

（3）复数集及复数的分类（实数、虚数、纯虚数）

（4）复数的几何意义（与复平面内点一一对应，与平面向量一一对应）

（5）作业布置

设计意图：让学生形成良好的学习习惯，当堂学习内容应及时地回顾和梳理，清楚本堂课学习的重点内容，真正做到学有所获。

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