小结第二课时教学实录

章末归纳总结

一、选择题

1．在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，若acosA＝bcosB，则△ABC一定是(

) A．等腰三角形

C．等边三角形

[答案]

D asinA[解析]

由正弦定理，得＝. bsinBacosBsinAcosB又acosA＝bcosB，即＝，∴＝，

bcosAsinBcosA即sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B. π∴2A＝2B或2A＝π－2B.∴A＝B或A＋B＝. 2∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故选D．

2．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，b＝3，c＝5，A＝120°，则a＝(

) A．7 C．49 [答案]

A [解析]

a2＝b2＋c2－2bccosA＝9＋25－2×3×5cos120°＝49，∴a＝7. 3．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝(

) A．30°

C．120°

[答案]

A b2＋c2－a2[解析]

由余弦定理得：cosA＝，由题知b2－a2＝－3bc，c2＝23bc，则cosA2bc＝3，

2又A∈(0°，180°)，∴A＝30°，故选A．

34．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为，面积为14，那么这个三角形的此两边长分5别是(

) A．3和5 C．6和8 B．4和6 D．5和7 B．60°

D．150°

B．19 D．19 B．直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

[答案]

D 34[解析]

设夹角为A，∵cosA＝，∴sinA＝，

551S＝bcsinA＝14，∴bc＝35，

2又b－c＝2，∴b＝7，a＝5. 5．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(

) A．锐角三角形

C．钝角三角形

[答案]

B [解析]

本题考查正弦定理．由正弦定理，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以sin(Bπ＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，而sinA>0，∴sinA＝1，A＝，所以△ABC是直角三角形．

26．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为

B．直角三角形

D．不确定

(

) A．502m C．252m

[答案]

A [解析]

由题意知∠ABC＝30°，

ACAB由正弦定理得，＝，

sin∠ABCsin∠ACB250×2AC·sin∠ACB∴AB＝＝＝502(m)．

1sin∠ABC2二、填空题

17．在△ABC中，a＝32，cosC＝，S△ABC＝43，则b＝__________. 3[答案]

23 221[解析]

在△ABC中，∵sinC＝1－cos2C＝，a＝32，S△ABC＝absinC＝43，

32∴b＝23. B．503m 252D．m 2

→→→→→→→→→8．已知平面内四点O、A、B、C满足OA＋OB＋OC＝0，OA·OB＝OB·OC＝OC·OA＝－1，则△ABC的面积为________．

[答案]

33

2→→→[解析]

由OA＋OB＋OC＝0知O为△ABC的重心，

→→→→又由OA·OB＝OB·OC得

→→→→→OB·(OA－OC)＝OB·CA＝0，

→→→→→→所以OB⊥CA，同理OA⊥BC，OC⊥AB，

所以O为△ABC的垂心．

故△ABC为正三角形．

→→→→即OC·OA＝|OC|·|OA|·cos120°＝－1，

→→∴|OC|·|OA|＝2. 1→→3∴S△AOC＝|OC|·|OA|sin120°＝，

22∴S△ABC＝

三、解答题

9．设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC．

(1)求角A的大小；

(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．

[解析]

(1)由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，

1∵sinB≠0，∴cosA＝. 2π由于0

1＝4＋1－2×2×1×＝3，

233. 2

π∴a2＋c2＝b2，B＝. 2∵BD＝3，AB＝1，∴AD＝2371＋＝. 4210．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2＝b2＋c2＋3bC．

(1)求A；

(2)设a＝3，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．

b2＋c2－a2－3bc3[解析]

(1)由余弦定理，得cosA＝＝＝－. 2bc2bc25π又∵0

211asinBS＝bcsinA＝··asinC＝3sinBsinC，

22sinA∴S＋3cosBcosC＝3(sinBsinC＋cosBcosC)＝3cos(B－C)．

π－Aπ当B＝C，即B＝＝时，S＋3cosBcosC取最大值3. 21211．如下图所示，甲船以每小时302n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20n mile.当甲船航行20min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102n mile，问乙船每小时航行多少n mile?

[解析]

解法一：如图，连结A1B2，

20由题意知A2B2＝102n mile，A1A2＝302×＝102n mile. 60

所以A1A2＝A2B2. 又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，

所以△A1A2B2是等边三角形．

所以A1B2＝A1A2＝102n mile. 由题意知，A1B1＝20n mile，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，

22在△A1B2B1中，由余弦定理，得B1B2A1B2·cos45°＝202＋(102)22＝A1B1＋A1B2－2A1B1·－2×20×102×2＝200. 2所以B1B2＝102n mile. 102因此，乙船速度的大小为×60＝302(n mile/h)．

20答：乙船每小时航行302n mile. 解法二：如下图所示，连结A2B1，

20由题意知A1B1＝20n mile，A1A2＝302×＝102n mile，∠B1A1A2＝105°，

60又cos105°＝cos(45°＋60°) ＝cos45°cos60°－sin45°sin60°

＝21－3，

4sin105°＝sin(45°＋60°) ＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°

＝21＋3，

422在△A2A1B1中，由余弦定理，得A2B2A1A2·cos105°＝202＋(102)21＝A1B1＋A1A2－2A1B1·－2×20×102×21－3＝100(4＋23)，

4所以A2B1＝10(1＋3)n mile 21＋3A1B1202由正弦定理，得sin∠A1A2B1＝·sin∠B1A1A2＝×＝，

A2B142101＋3

所以∠A1A2B1＝45°，即∠B1A2B2＝60°－45°＝15°，cos15°＝sin105°＝在△B1A2B2中，由题知A2B2＝102n mile，

21＋3. 422由余弦定理，得B1B2＝A2B2A2B2·cos15°＝102(1＋3)2＋(102)2－1＋A2B2－2A2B1·2×10(1＋3)×102×21＋3＝200，

4102所以B1B2＝102n mile，故乙船速度的大小为×60＝302(n mile/h)．

20答：乙船每小时航行302n mile.