信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响教学设计内容推荐

第二章

随机变量及其分布列

2.2.3 独

立

重

复

试

验

与

二

项

分

布

一、教学目标：

知识与技能：

理解n次独立重复试验的模型及二项分布，能解答简单实际问题；能进行与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算．

过程与方法：

通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体事例中归纳出数学概念，使学生充分体会知识的发现过程，并渗透由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法．

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 二、教学重点、难点

重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题．

难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算．

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．

“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. “抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点. 学法：突出探究、发现与交流．

四、教学过程

（一）温故知新

互斥事件：不可能同时发生的两个事件．P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．

一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么

P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做

相互独立事件．

相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B) 一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的

1

概率的积，P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．

（二）

探究新知

提出问题：分析下面的试验，它们有什么共同特点？

(1)某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他连续射击3次；

(2)实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即先赢3局就胜出)；

(3)连续投掷一个骰子5次．

活动结果：在同一条件下多次重复地做某个试验．(由学生归纳后给出定义) 1．n次独立重复试验的定义：

一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．

在n次独立重复试验中，记Ai(i＝1,2，…，n)是“第i次试验的结果”．

显然，P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An) 提出问题：在前面问题(1)基础上，求：①第一次命中，后面两次不中的概率；

②恰有一次命中的概率；③恰有两次命中的概率．

活动设计：由浅入深，增加梯度，旨在引导学生归纳独立重复试验的概率公式．

活动结果：记事件“第i次击中目标”为Ai(i＝1,2,3)，则A1、A2、A3相互独立，

且P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8. ①第一次命中，后面两次不中的事件即A1A2

A3，

∴P(A1A2

A3)＝P(A1)[1－P(A2)][1－P(A3)]＝0.032. ②三次射击恰有一次命中的事件即A1A2

A3＋A1A2A3＋A1

A2A3，

∴三次射击恰有一次命中的事件的概率为P3(1)＝3×0.8×0.2×0.2＝0.096. ③三次射击恰有两次命中的事件即A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3，

∴三次射击恰有两次命中的事件的概率为P3(2)＝3×0.8×0.8×0.2＝0.384. 教师指出：由刚才的问题不难发现这样一个事实：

P3(1)＝3×0.8×0.2×0.2＝C10.8×(1－0.8)2＝0.096，

3×P3(2)＝3×0.8×0.8×0.2＝C20.82×(1－0.8)＝0.384，

3×knk推广到一般形式：n次射击试验，命中k次的概率Pn(k)＝Ck. n0.8(1－0.8)－2．独立重复试验的概率公式：

一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次

2

knk的概率Pn(k)＝Ck，

np(1－p)－它是二项式[(1－p)＋p]n展开式的第k＋1项．

设计意图：理所当然引出二项分布概念．

3．离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数X是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

knkP(X＝k)＝Ck(k＝0,1,2，…，n，q＝1－p)．

npq－于是得到随机变量X的概率分布如下：

X P kn由于Cknpq－k0 00nCnpq

1 11n1Cnpq

－…

…

k kknkCnpq

－－…

…

－n nn0Cnpq

0n11n1kknkn0恰好是二项展开式：(q＋p)n＝C0＋…＋Cnpq＋…＋Cnnpq＋Cnpqnpq中的第k＋1项的值，所以称这样的随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，其中p称为成功概率．

(三)应用巩固

例1实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出

并停止比赛)．

(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．

(2)求按比赛规则甲获胜的概率．

11解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. 22(1)记事件A＝“甲打完3局才能取胜”，记事件B＝“甲打完4局才能取胜”，

记事件C＝“甲打完5局才能取胜”．

①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜．

131∴甲打完3局取胜的概率为P(A)＝C33()＝. 28②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负．

1113∴甲打完4局才能取胜的概率为P(B)＝C2()2××＝. 3×22216③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负．

1113∴甲打完5局才能取胜的概率为P(C)＝C2()2×()2×＝. 4×22216(2)记事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则D＝A＋B＋C，

又因为事件A、B、C彼此互斥，

3

1331故P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝. 8161621答：按比赛规则甲获胜的概率为. 2例2重复抛掷一枚骰子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．

1解：依题意，随机变量ξ～B(5，)．

614525151∴P(ξ＝4)＝C4，P(ξ＝5)＝C5. 5()·＝5()＝667 77667 77613∴P(ξ>3)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝. 3 888【变练演编】

甲乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采取三局两胜制还是五局三胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？

设计意图：此题设计新颖，贴近生活，贴近高考，一下子把学生带到了全新的知识场景中，强大的诱惑力促使每个学生积极思考．此题是开放性试题，不是直接要你求什么、证什么，培养学生的发散性思维和创造性思维．

解：三局两胜制中，甲获胜分三种情形：甲连胜两局；甲前两局中胜一局，第三局胜．

故P(甲获胜)＝0.62＋C10.62×0.4＝0.648. 2×五局三胜制中，甲获胜分三种情形：甲连胜三局；甲前三局中胜两局，第四局胜；甲前四局中胜两局，第五局胜．

2故P(甲获胜)＝0.63＋C20.63×0.4＋C4×0.63×0.42≈0.683.

3×可以看出五局三胜制对甲有利，并由此可以猜测比赛的总局数越多甲获胜的概率越大．因此，为使比赛公平，比赛的局数不能太少．

变式：如果要求在这两种赛制比赛中必须打完全部比赛，结论会有变化吗？

解：设甲获胜的局数为随机变量X，

在三局两胜制中，X～B(3,0.6)，因此甲获胜的概率为

P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C20.62×0.4＋0.63＝0.648. 3×在五局三胜制中，X～B(5,0.6)，因此甲获胜的概率为

3P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝C5×0.63×0.42＋C40.64×0.4＋0.65≈0.683.

5×（四）达标检测

1．每次试验的成功率为p(0

为(

)

4

37333A．C310p(1－p)

B．C10p(1－p)

C．p3(1－p)7

D．p7(1－p)3

2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为(

) A．C30.72×0.3

B．C10.72×0.3 10×3×133A2A37·C.

D.3

10A10答案：1.C

2.B 3.有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2. (1)求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；

(2)求直至五项指标全部检验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．

1解：(1)这批食品不能出厂的概率是：P＝1－0.85－C5×0.84×0.2≈0.263.

(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：

P1＝C10.2×0.83×0.8，

4×五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：

P2＝C10.2×0.83×0.2，

4×由互斥事件只能有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是

否出厂的概率是：P＝P1＋P2＝C10.2×0.83＝0.409 6≈0.410.

4×五、小结

1．独立重复试验要从三方面考虑．第一：每次试验是在相同条件下进行．第二：各次试验中的事件是相互独立的．第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．

2．如果1次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为knkPn(k)＝Ck.对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件A要么发生，要么不发生，所以np(1－p)－在n次独立重复试验中A恰好发生k次，则在另外的n－k次中A没有发生，即A发生，由P(A)＝p，P(A)＝1－p，所以上面的公式恰为[(1－p)＋p]n展开式中的第k＋1项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系．

六、作业

1.课时检测

七、教学反思：

在整个教学过程中，主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教

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师为主导，学生为主体，训练为主线，思维为主攻”的“四为主”原则．教师不是抛售现成的结论，而是充分利用学生的思维，展示“发现”的过程，突出“师生互动”的教学，这种设计充分体现了教师的主导作用．学生在一系列的思考、探究中逐步完成了本节的学习任务，充分实现了学生的主体性地位，在整个教学过程中，始终着眼于培养学生的思维能力，这种设计符合现代教学观和学习观的精神，体现了素质教育的要求．

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