2.基本不等式名师课堂实录

第2课时

基本不等式

学习目标

1.理解并掌握重要不等式(定理1)和基本不等式(定理2).2.能运用这两个不等式解决函数的最值或值域问题，能运用这两个不等式证明一些简单的不等式.3.能运用基本不等式(定理2)解决某些实际问题．

知识点

基本不等式

思考

回顾a2＋b2≥2ab的证明过程，并说明等号成立的条件．

梳理

(1)重要不等式

定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2____2ab，当且仅当________时，等号成立．

(2)基本不等式

①定理2：如果a，b＞0，那么____________________，当且仅当________时，等号成立

. ②定理2的应用：对两个正实数x，y，

(ⅰ)如果它们的和S是定值，则当且仅当__________时，它们的积P取得最________值；

(ⅱ)如果它们的积P是定值，则当且仅当__________时，它们的和S取得最________值．

类型一

不等式的证明

例1

已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 111求证：＋＋≥9. abc

引申探究

a2b2c21．若本例条件不变，求证：＋＋≥1. bca12．若本例条件不变，求证：a2＋b2＋c2≥. 3

3．若本例条件不变，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2. 反思与感悟

用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．

跟踪训练1

(1)已知a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd；

11(2)已知a＞0，b＞0且a＋b＝1，求证：(1＋)(1＋)≥9. ab

类型二

利用基本不等式求最值

3例2

(1)设0＜x＜，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；

219(2)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值；

xy

51(3)已知x＜，求函数y＝4x－2＋的最大值．

44x－5

反思与感悟

在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行

(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值．

(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正．

(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函

数的单调性或导数解决．

12跟踪训练2

若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为(

) abA.2

B．2

C．22

D．4 类型三

利用基本不等式解决实际应用问题

例3

某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2017年大型展销会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2017年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．

(1)将2017年的利润y(万元)表示为促销费用t(万元)的函数；

(2)该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

反思与感悟

利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约．

跟踪训练3

围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)，总费用为y(单位：元)．

(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

1．下列不等式中，正确的个数是(

) ①若a，b∈R，则a＋b2≥ab；

②若x∈R，则x2＋2＋1x2＋2≥2；

③若x∈R，则x2＋1＋1x2＋1≥2；

④若a，b∈Ra＋b＋，则2≥ab. A．0

B．1

C．2

D．3 2．已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是12，且α＝a＋11a，β＝b＋b，则α＋β的最小值是(

A．3

B．4 C．5

D．6 3．下列不等式的证明过程正确的是(

) A．若a，b∈R，则bbaa＋ab≥2 a·b＝2 B．若x＞0，则cos x＋1cos x≥2 cos x·1cos x＝2 C．若x＜0，则x＋4x≤2 x·4x＝4 D．若a，b∈R，且ab＜0，则baa＋b＝－－ba＋－ab≤－2 －ba－ab＝－2 4．若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(

) A．2

B．3

C．4

D．5 5．已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1.求证：a2＋b2≥12. )

1．对于基本不等式的应用，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷．

a＋b2a2＋b2(1)ab≤()≤()．

22a＋b(2)ab≤

≤

2a2＋b2(a，b∈R＋)．

2ba(3)＋≥2(a，b同号)．

ab11(4)(a＋b)(＋)≥4(a，b∈R＋)．

ab(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 2．利用基本不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式．注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据．

答案精析

问题导学

知识点

思考

a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab. a＋b梳理

(1)≥

a＝b

(2)①≥ab

a＝b

②(ⅰ)x＝y

大

(ⅱ)x＝y

小

2题型探究

例1

证明

方法一

∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，

111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋cbcacab∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋

abcabcaabbccbacacb＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

abacbc111∴＋＋≥9. abc方法二

∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，

111111bcacab∴＋＋＝(a＋b＋c)(＋＋)＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1 abcabcaabbccbacacb＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥3＋2＋2＋2＝9，

abacbc当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

111∴＋＋≥9. abc引申探究

a21．证明

∵a＋b≥2ab，∴≥2a－b. b22b2c2同理，≥2b－c，≥2c－a. caa2b2c2∴＋＋≥(2a－b)＋(2b－c)＋(2c－a)＝a＋b＋c＝1，

bcaa2b2c2∴＋＋≥1. bca2．证明

∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，

a2＋c2≥2ac，

∴a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2ab＋2bc＋2ac，即2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，

∴2(a2＋b2＋c2)＋a2＋b2＋c2≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac

＝(a＋b＋c)2＝1，

1∴a2＋b2＋c2≥，当且仅当a＝b＝c时取等号．

33．证明

∵a2＋b2≥2ab，

∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2. 又a，b，c∈R＋，

∴a2＋b2≥22|a＋b|＝(a＋b)．

222(b＋c)，

2同理，b2＋c2≥c2＋a2≥2(a＋c)．

2三式相加，得a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥

2(a＋b＋c)＝2，

当且仅当a＝b＝c时取等号．

跟踪训练1

证明

(1)∵ab＋cd≥2abcd，

ac＋bd≥2acbd，

∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 当且仅当a＝b＝c＝d时取等号．

a＋ba＋b11baba(2)(1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋)＝4＋2(＋)＋1≥5＋2×2＝9，

abababab11∴(1＋)(1＋)≥9. ab当且仅当a＝b时取等号．

3例2

解

(1)∵0＜x＜，∴3－2x＞0. 22x＋3－2x29∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2[]＝. 2239当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．∴y＝4x(3－2x)的最大值为. 4219(2)∵x＞0，y＞0，＋＝1，

xy19∴x＋y＝(＋)(x＋y) xyy9x＝＋＋10≥6＋10＝16. xyy9x19当且仅当＝，又＋＝1，

xyxy即x＝4，y＝12时，上式取等号．

故当x＝4，y＝12时，有(x＋y)min＝16.

5(3)∵x＜，∴5－4x＞0. 41∴y＝4x－2＋

4x－51＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1. 5－4x1当且仅当5－4x＝，

5－4x即当x＝1时上式等号成立．

∴当x＝1时，y取最大值1. 跟踪训练2

C 例3

解

(1)由题意可设3－x＝将t＝0，x＝1代入，得k＝2. 2∴x＝3－.当年生产x万件时，

t＋1∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，

2∴年生产成本为32x＋3＝32(3－)＋3. t＋1当销售x(万件)时，年销售收入为150%[32(3－21)＋3]＋t. 2t＋1k(k≠0)，

t＋1由题意，生产x万件化妆品正好销售完，由年利润＝年销售收入—年生产成本—促销费用，

－t2＋98t＋35得年利润y＝(t≥0)．

2t＋1－t2＋98t＋35(2)y＝

2t＋1t＋132＝50－(＋)≤50－22t＋1t＋132×

2t＋1t＋132＝50－216＝42，当且仅当＝，

2t＋1即当t＝7时，等号成立，ymax＝42，

∴当促销费用定在7万元时，年利润最大．

跟踪训练3

解

如题图所示，设矩形的另一边长为a

m．则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360. 360由已知xa＝360，得a＝，

x3602∴y＝225x＋－360(x＞0)．

x(2)∵x＞0，

3602∴225x＋≥2225×3602＝10 800. x3602∴y＝225x＋－360≥10 440，

x3602当且仅当225x＝，即当x＝24 m时等号成立，此时修建围墙的总费用最小，最小总费用x是10 440元．

当堂训练

1．C

2.C

3.D

4.C 5．证明

∵a2＋b2≥2ab，

1∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥，

21当且仅当a＝b＝时，等号成立．

2