*8 三元一次方程组教学设计第一课时

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三元一次方程组

一、基本目标

1．认识三元一次方程组，会解三元一次方程组．

2．感受“三元”化归到“二元”，再由“二元”化归到“一元”的数学思想．

二、重难点目标

【教学重点】

掌握三元一次方程组的解法．

【教学难点】

三元一次方程组如何化归到二元一次方程组．

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P129～P130的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.像这样共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解. 2．下列方程组中，是三元一次方程组的是(

D

) x－y＝1A．y＋z＝0xz＝22

1B．y＋z＝21z＋x＝61＋1＝1x

a＋b＋c＋d＝1C．a－c＝2b－d＝3

m＋n＝18D．n＋t＝12t＋m＝0环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生对学) 【例1】解下列三元一次方程组：

z＝y＋x，①(1)2x－3y＋2z＝5，②x＋2y＋z＝13；③2x＋3y＋z＝11，①(2)x＋y＋z＝0，②3x－y－z＝－2.③

【互动探索】(引发学生思考)三元一次方程组与二元一次方程组有什么区别？解三元一次方程组的基本思路是什么？

4x－y＝5，x＝2，【解答】(1)将①代入②、③，消去x，得解得

2x＋3y＝13.y＝3.

把x＝2，y＝3代入①，得z＝5. x＝2，所以原方程组的解为y＝3，z＝5.(2)①－②，得x＋2y＝11.④

①＋③，得5x＋2y＝9.⑤

x＋2y＝11，联立④⑤5x＋2y＝9.

x＝－2，解得23y＝4.1

12321把x＝－，y＝代入②，得z＝－. 24423所以原方程组的解是y＝4，.z＝－2141x＝－，2

【互动总结】(学生总结，老师点评)解三元一次方程组的难点在于根据方程组中方程的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一方程的系数比较简单，可选用代入消元法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法，但要注意必须消去同一个未知数，否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数，但由它们组成的方程组仍含三个未知数，并未达到消元的目的．

【例2】某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力及投入的资金如下表：

农作物品种

每公顷需劳动力

每公顷需投入资金

水稻

棉花

蔬菜

4人

8人

5人

1万元

1万元

2万元

已知该农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？

【互动探索】(引发学生思考)本题中水稻、棉花和蔬菜的种植面积有怎样的等量关系？投入资金之间有怎样的数量关系？职工之间的工作安排有怎样的数量关系？

【解答】设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜z公顷．

x＋y＋2z＝67，由题意，得4x＋8y＋5z＝300，x＋y＋z＝51，

x＝15，解得y＝20，z＝16.

即应种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜16公顷．

【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，抓住题目中的关键语句，找出等量关系，从而列出方程组．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品．若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元．现购铅笔，练习本，圆珠笔各1个，共需(

B

) A．1.2元

C．0.95元

x＋y＋z＝26，2．解下列方程组：(1)2x－y＋z＝18，x－y＝1；x＋y＋z＝10，(2)2x＋3y＋z＝17，3x＋2y－z＝8.x＝10，解：(1)y＝9，z＝7.B．1.05元

D．0.9元

x＝3，

(2)y＝2，z＝5.

3．某校初中三个年级共有651人，八年级的学生人数比九年级多10%，七年级的学生人数比八年级多5%，三个年级各有多少学生？

解：设七、八、九年级的学生人数分别为x人，y人和z人．

x＋y＋z＝651，由题意，得y＝z1＋10%，x＝y1＋5%，

x＝231，解得y＝220，z＝200.

所以七、八、九年级的学生人数分别为231人，220人和200人．

活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，而从乙地到甲地需要2.3 h．假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30 km/h、20 km/h、40 km/h，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？

【互动探索】题中的等量关系是什么？从甲地到乙地的上坡路段与从乙地到甲地的上坡路段相同吗？

【解答】设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是x

km，y

km和z km. x＋y＋z＝2.5，由题意，得203040zyx＋＋203040＝2.3.x＋y＋z＝70，

x＝12，解得y＝54，z＝4.

即从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下坡路是4 km. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 解三元一次方程组的思路：

三元一次方程组――→二元一次方程组――→一元一次方程

消元消元

请完成本课时对应练习！