回顾与思考教学设计和教学实录

基本平面图形回顾与思考（一）

于南

教材分析

本节内容是七年级上册第四章的章节复习，教材中只是提出了五个问题，篇幅很短。我设计本节课的核心是通过回顾分析本章所涉及的一些基本概念以及基本方法，使学生感受并尝试使用类比的数学思想方法，从中得到逻辑思维能力上的训练，同时也初步了解章节知识点的回顾思考方法。

基本图形的发展是由一维空间的点、线段等概念逐步演变为二维空间的角、多边形、圆等概念的，在演变的过程中，除了出现新的性质，同时也保留了一部分共同的特征，因此其中非常容易产生可以类比的问题解决方案。引导学生主动发现这些共同特征，通过类比的思想解决新问题，并通过这一体验来学会如何进行知识梳理和章节复习，是本节课的主要目的。

根据内容需要，安排2课时，其中本节为第一课时，主要研究线段、角和弧线的类比；第二课时安排研究开放图形与封闭图形的类比。

教学目标

⑴涉及知识点：线段、角、弧线的定义、表示方法、比较方法及相关尺规作图；线段公理和直线公理及其应用；多边形的相关概念。

⑵能力训练计划：经历比较线段与角和线段与弧线特征的过程，体会其异同，进一步利用类比的思想尝试从解决线段相关问题的方法中提炼出解决角和弧线相关问题的方法，深度体会类比的数学思想。

⑶情感与价值观体现：从简单问题入手，能使学生积极参与教学活动，对数学有好奇心和求知欲。把简单问题和复杂问题相联系，使学生初步体会数学研究的一般思维过程。通过学生的发言和交流，培养学生正确阐述观点的能力。

教学重点

本节的重点是经历类比的过程，获得提炼方法的体验，并能够应用于老问题的再研究。

教学难点

通过类比的方法将相对负责的图形抽象成为相对简单的图形的过程。

教法设计

⑴运用发现学习法，启发学生发现线段和角在形态特征、表示和比较方法以及作图方法上的类似之处，从而引出可进行类比的想法，引导学生主动思考；

⑵在分析例题时，引导学生由浅入深的思考，注重抽象能力和发散思维的培养；

⑶在整个教学过程中，贯穿主线意识，使学生逐步了解知识体系的形成过程。

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教学过程

问题1.一个章节的“回顾与思考”应该回顾和思考什么？请同学们对照课本上本章的目录谈一谈。

点拨：回顾与思考，不应该只是浅层的回顾定义、性质和解题方法，而是应该站在更高的角度俯视整章内容，寻找本章的主线，体会知识点发展进化的过程，进而对各知识点之间的联系有深层次的了解。以本章为例，课本上首先给出了直线、线段、射线的概念，之后由射线的定义引出角的概念，由线段的定义引出多边形的概念，最后将正多边形逐步转化为圆。

从形态上看：

直线（直线、射线、线段）→折线（角、多边形）→曲线（圆、弧）

从空间范围上看：

开放图形（直线）→半开放图形（角）→封闭图形（多边形、圆）

在这个由一维图形向二维图形进化的过程中，虽然产生了很多新的性质，但是也有一部分原始特征被保留了下来，这就在简单图形和复杂图形之间建立了一条通道，是我们可以通过其共同特征来研究相关问题解决方法的通性。这种思维方式，我们称之为“类比”（投影展示：类比是指根据两个研究对象有部分特征相同或相似，从而尝试用相同的方法进行分析研究）。今天，我们就来尝试利用线段和角以及弧线的类比来体会这一重要的数学思想方法。

问题2：线段和角有哪些相同或者相似之处？

点拨：（学生适当思考后，给出空白表格作为引导，由学生自主填写）

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图形特征上存在这么多相似之处，比较方法和作图方法又这么接近，不难想象，在研究角的相关问题时，有可能会利用到一些研究线段的方法。下面我们就通过几个具体例子来体会。

类型一

如图，已知直线上有A、B、C、D四个点，则图中可表示的线段共有多少条？请将他们分别表示出来。

点拨：

追问：如果有五个点呢？如果有六个点呢？如果有n个点呢？

归纳：结论为：

n(n1)

2变式1：如果这n个点不是在同一直线上，而是在同一个圆上呢？

变式2：若圆周上共有n个已知点，则在图中共有多少条小于圆周的弧？（类比弧线）

类比思考：如图，已知∠AOB为钝角，在∠AOB的

内部，从点O再引出99条射线，则图中不大于∠AOB的角最多有

个；

点拨：将具有公共端点的一组射线，抽像的看作是同一平面内的一组点，那么每两条射线组成一个角相当于每两个点连成一条线段（此处尽可能先让学生说，多留时间）

类型二

已知A、B、C三点在同一直线上，AB=8cm,BC=6cm ,若M、N分别为线段AB和线段BC的中点，则线段MN的长度为

。（学生上台讲解）

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追问：若将线段AB和CD的长度改为5cm和9cm呢？

若将线段AB和CD的长度改为xcm和ycm呢？

归纳：结论需要分类讨论ab（其中绝对值符号的运用要引导学生自主发现，留足时间）

2类比思考：已知∠AOB为110度，∠BOC为60度，OM、ON分别为∠AOB和∠BOC平分线，则∠MON=

点拨：可以按照线段问题的方法分类讨论，也可以直接套用从线段问题中归纳出的结论。

变式：已知∠AOB:∠BOC=4:5，OM、ON分别为∠AOB和∠BOC平分线，若∠MON=30度，求∠AOC的度数。

点拨：本题与上一题想比，是一种逆向思维的分析过程，对于这种逆向思维的问题，最佳的解决方式应该是运用方程思想。可以直接套用上述结论列方程即可。

类型三

将一根长为100的木条截成5段，用这5段木条可以围成一个五边形，若其中最长的一段长度为a，则a的取值范围是

点拨：对于最小值，我们知道一组数据中最大的一个一定不会小于平均数，因此可得最小值即为平均数，也就是说当这个五边形各边长度相等时，a最小；对于最大值，可以用“两点之间线段最短”来解释（如图），可得a一定小于其他几条边之和（此处也可引导学生类比“三角形任意两边之和大于第三边”得出结论，体现出类比思想应用的广泛性）。

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类比思考：若平面内有6条直线相交于同一点，所产生的夹角中最小的一个度数为m，则m的取值范围是

点拨：一组数据中最大的一个一定不会小于平均数，因此可联想到一组数据中，最小的一个不会大于平均值（类比上一题）。

类型四

如图，数轴上有两点A和B，点A在数轴上对应的数是-8，点B在数轴上对应的数是15。若点A和点B同时匀速向右运动，其中点A的速度为4个单位/秒，点B的速度是2个单位/秒。问：运动几秒时，线段BC长度为6个单位？

点拨：数轴上点的追及问题，可以利用参变量（运动时间t）来表示出个线段的长度，将动态问题转化为静态，然后利用方程思想解决（顺便强化分类讨论意识）。

类比思考：请计算：3点到4点之间的什么时刻，钟表时针和分针互相垂直？

点拨：钟表指针夹角问题实际上就是两条具有公共端点的射线（或线段）在旋转过程中的追及问题。

课堂小结：（学生自主完成，全班交流，教师点评）

思维拓展

类比几种关于线段问题的解法，我们通过猜想和实践，也逐渐了解一些常见的关于角度问题的研究方法。实际上这些方法还可以做进一步的类比和延伸。

如图，已知O半径为3，AB所对的圆心角为90。若半径OA和OB同时出发，分别以30度/秒的速度绕点O按照逆时针方向和顺时针方向旋转，则当运动时间为

秒时，扇形OAB的面积为3. 2本题已经将前面所研究的开放图形拓展成了封闭图形，产生了周期性变化，既作为本节的思维拓展，也作为下节课的引例，引出封闭与开放图形的类比（留作课后思考题）。

板书设计

由于本节课采用多媒体辅助教学，所以大量的内容出现在课件中，黑板上主要出现的是关键例题的完整书写，意在规范书写格式。

教后反思

我们经常对学生强调，在复习的过程中，不能只是简单地重复，而是要深入了解知识点之间的关联，构建知识体系和思维框架，因此我们自己就必须首先更深入的了解教材设计的意图，挖掘出每个章节的主线，第

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整合教材显的尤其重要。在本节课的设计之初，我的主导思想就是如何将一节普通的章节复习课尽量上的不普通。查阅了大量的资料，也参考了很多其他老师的设计，感觉都没有能够从“回顾知识点、总结知识点框架图或回顾典型习题的解法”的圈子里跳出来，所以我想做一个大胆的尝试，将数学思想方法作为主线，以概念和习题作为媒介，将思维训练引入课堂。我一贯认为，良好的思维能力来源于思维习惯，而优秀的思维习惯产生于思维顺序，既然我们可以为学生总结出各种题型的一般解题步骤，为什么不从根源上出发，训练他们掌握高效的思维顺序呢。

本节课的优点在于成功的整合了教材内容，从中发掘出了一些重要的隐形信息，把数学思想方法作为章节知识的主线，将思维训练融入了枯燥的概念回顾，既在训练内容方面上了一个层次，同时也引导学生学会如何思考，学会如何复习。

不足之处是由于时间紧张，在例题的选择上不够充分，部分题目是根据设计需要自编的，所以在难度上把我的也不是特别到位，整体难度有些偏高，好在班里的部分优秀学生领悟能力很强，配合的非常好，所以显得课堂气氛较好，实际上对于部分中等生和后进生来说，不太容易接受，需要做进一步调整。

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