3.3 复数的几何意义公开课教学设计模版

3.3 复数的几何意义

1.了解复数的几何意义，并能简单应用.(重点) 2.理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系.(易错点) 3.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.(重点、难点)

[基础·初探] 教材整理1

复数的几何意义

阅读教材P75，完成下列问题. 1.复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 2.复数的几何意义

一一对应一一对应复数z＝a＋bi(a，b∈R)―――――→―→复平面内的点Z(a，b)――――→―→→向量OZ.

复数z＝-1＋i-1在复平面内，z所对应的点在第______象限. 1＋iii＋1-1＝i-1，

1＋i【解析】

z＝∴复数z对应的点为(-1,1)在第二象限.

【答案】

二

教材整理2

复数的模

阅读教材P76“例1”以上部分，完成下列问题. 1.定义

1

→向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|. 2.公式

|z|＝a2＋b2. 3.几何意义

复数z对应点Z到原点O的距离.

判断正误：

(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.(

) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(

) (3)复数的模一定是正实数.(

) 【答案】

(1)√

(2)×

(3)×

教材整理3

复数加减法的几何意义

阅读教材P77图3-3-6以下部分，完成下列问题. →→1.如图3-3-1所示，设向量OZ1，OZ2分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，→→→→→且OZ1和OZ2不共线.以OZ1，OZ2为两条邻边画▱OZ1ZZ2.则向量OZ与复数z1＋z2相→对应；向量Z2Z1与复数z1-z2相对应.

图3-3-1 2.|z1-z2|＝a-c2＋b-d2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.

→→→复数4＋3i与-2-5i分别表示向量OA与OB，则向量AB表示的复数是________.

【导学号：97220033】

→→→【解析】

因为复数4＋3i与-2-5i分别表示向量OA与OB，所以OA＝(4,3)，2

→→→→→OB＝(-2，-5)，又AB＝OB-OA＝(-2，-5)-(4,3)＝(-6，-8)，所以向量AB表示的复数是-6-8i.

【答案】

-6-8i [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型] 复数的几何意义

(1)实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的第________象限. 1-2i(2)设复数z＝m-i(m∈R)在复平面内对应的点为Z. ①若点Z在虚轴上，求m的值；

②若点Z位于第一象限，求m的取值范围. 【自主解答】

(1)实部为-2，虚部为1的复数在复平面内对应的点为(-2,1)，位于第二象限.

【答案】

二

1-2i1-2im＋im＋21-2m(2)z＝m-i＝＝＋i.

m-im＋im2＋1m2＋1①∵点Z在虚轴上，∴m＋2＝0，则m＝-2.

m2＋1②点Z位于第一象限，则m＋2>0且1-2m>0，

3

1解之得-2

1故实数m的取值范围是-2，2.



复数可由复平面内的点或向量进行表示

1.复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题.

2.复数与复平面内向量的对应：复数实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题.

[再练一题] 1.实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x-6＋(x2-2x-15)i的点Z：

(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x-y-3＝0上. 【解】

因为x是实数，所以x2＋x-6，x2-2x-15也是实数.

2x＋x-6＜0，(1)当实数x满足2即-3＜x＜2时，点Z位于第三象限.

x-2x-15＜0，2x＋x-6＞0，(2)当实数x满足2

x-2x-15＜0，

即2＜x＜5时，点Z位于第四象限，

(3)当实数x满足(x2＋x-6)-(x2-2x-15)-3＝0，即3x＋6＝0，x＝-2时，点Z位于直线x-y-3＝0上. 复数加减法的几何意义

→→

(1)向量OA对应的复数为1＋4i，向量OB对应的复数为-3＋6i，则向→→量OA＋OB对应的复数为________. →→→(2)若OA，OB对应的复数分别是7＋i,3-2i，则|AB|＝________. 【精彩点拨】

利用复数加减法的几何意义求解.

→→【解析】

(1)(1＋4i)＋(-3＋6i)＝-2＋10i.即向量OA＋OB对应的复数为-2＋4

10i.

→(2)AB对应复数为(3-2i)-(7＋i)＝-4-3i，

→∴|AB|＝|-4-3i|＝-42＋-32＝5.

【答案】

(1)-2＋10i

(2)5

1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算，同样满足三角形和平行四边形法则. 2.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.

[再练一题] 2.在复平面内，A、B、C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长. 【解】

由复数加减法几何意义：

→AC对应复数z3-z1，

→AB对应复数z2-z1，

→AD对应复数z4-z1，

→→→根据向量的平行四边形法则，得AD＝AB＋AC.

∴z4-z1＝(z2-z1)＋(z3-z1)，

∴z4＝z2＋z3-z1＝(5＋i)＋(3＋3i)-(1＋i)＝7＋3i，

→∴AD的长为|AD|＝|z4-z1|

＝|(7＋3i)-(1＋i)|＝|6＋2i|＝2 10.

[探究共研型] 复数的模及其几何意5

义

探究1

复平面内的虚轴的单位长度是1，还是i? 【提示】

复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.

探究2

在复平面内，若复数|z|＝2，则复数z对应的点的轨迹是什么？

【提示】

复数z对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆.

13

已知复数z1＝3-i，z2＝-2＋2i. (1)求|z1|及|z2|的值并比较大小. (2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？

【精彩点拨】

(1)计算复数的模，首先确定复数的实部和虚部，然后代入模的计算公式；(2)根据复数及其模的几何意义，转化为判定复数对应点的坐标满足的条件.

【自主解答】

(1)由复数模的定义：

13|z1|＝|3-i|＝2，|z2|＝-＋i＝1.

22∴|z1|>|z2|.

(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，

则1≤|z|≤2.

∴1≤x2＋y2≤4.

因为x2＋y2≥1表示圆x2＋y2＝1及其外部所有点组成的集合，x2＋y2≤4表示圆x2＋y2＝4及其内部所有点组成的集合.

∴满足条件的点Z(x，y)的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环，如图所示.

→1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模即向量OZ的模，复数的模可以比较大小. 2.复数的模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝6

对值，也可类比以原点为起点的向量的模来加深理解.

[再练一题] 3.(1)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝________. (2)若z＝x＋yi，且|z|＝1，则复数Z在复平面内对应的点P的轨迹方程为________.

【导学号：97220034】

【解析】

(1)由z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)知，

2i2i·1-iz＝＝＝1＋i，则|z|＝2.

1＋i1＋i1-i(2)由复数模的几何意知|z|＝1表示点P到原点的距离为1，即x2＋y2＝1.所以点P的轨迹方程为x2＋y2＝1.

【答案】

(1)2

(2)x2＋y2＝1 [构建·体系] —复平面的概念复数的几何意义——复数的几何意义—复数的模

1.复平面内表示复数i(1-2i)的点位于第________象限. 【解析】

i(1-2i)＝2＋i对应的点为(2,1)，位于第一象限.

【答案】

一

2.复数z＝x-2＋(3-x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________. 【解析】

∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，

x-2＞0，∴解得x＞3.

3-x＜0，【答案】

(3，＋∞) 3.已知复数z＝x-2＋yi(x，y∈R)的模是22，则点(x，y)的轨迹方程是7

________.

【导学号：97220035】

【解析】

∵|z|＝22，

∴x-22＋y2＝22，

∴(x-2)2＋y2＝8.

【答案】

(x-2)2＋y2＝8 y4.已知复数z＝x＋yi，且|z-2|＝3，则x的最大值为________. 【解析】

∵|z-2|

＝x-22＋y2＝3，

∴(x-2)2＋y2＝3.

3y由图可知x最大值＝1＝3.

【答案】

3 5.已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z. 【解】

设z＝a＋bi(a，b∈R)，

则|z|＝a2＋b2，

代入方程得，a＋bi＋a2＋b2＝2＋8i，

a＋a2＋b2＝2，a＝-15，∴解得

b＝8，b＝8，∴z＝-15＋8i.

我还有这些不足：

(1)

(2)

我的课下提升方案：

(1)

(2)

8