特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值设计意图

特殊角的三角函数

1.能推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.

2.能熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式.

1.通过探索特殊角的三角函数值的过程,培养学生观察、分析、发现的能力.

2.通过推导特殊角的三角函数值,了解知识间的联系,提升综合运用数学知识解决问题的能力.

3.经历特殊角的三角函数值的学习,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

1.在探索特殊角的三角函数值中,学生积极参与数学活动,培养学生独立思考问题的能力.

2.让学生经历观察、操作等过程,探索特殊三角函数值,让学生获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.

【重点】

熟记30°,45°,60°角的三角函数值,能熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式.

【难点】

30°,45°,60°角的三角函数值的推导过程.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复习锐角三角函数的定义.

导入一:

如图所示,这是一块三角形草皮,∠A=60°,AB=2米,AC=1.8米,那么这块三角形的草皮面积为多少呢?

如图所示,这是一块三角形草皮,∠A=60°,AB=2米,AC=1.8米,那么这块三角形的草皮面积为多少呢?

【师生活动】

学生思考后,小组合作交流,回答解决方法,教师点评,导出新课.

结合学生回答,教师分析:过C点作AB的垂线CD,垂足为D,∵sin

A= ,∴CD=ACsin 60°.

【复习提问】

1.什么是锐角的正弦、余弦、正切?

2.含30°,45°角的直角三角形有哪些性质?

3.你还记得我们探究锐角的正弦概念时所得的30°,45°角的正弦吗?

4.你还能推导出30°,45°,60°角的其他三角函数值吗?

[设计意图]

通过生活实际问题导入新课,激发学生的求知欲望,感受生活中处处有数学,复习直角三角形的性质和三角函数的概念,为本节课特殊角的三角函数值的推导打下基础,做好铺垫,让学生从已有的知识体系中很自然地构建出新知识.

[过渡语]

探究30°,45°,60°角的三角函数值就是我们本节课要学的内容.

一、实践探究

思路一

动手操作:画出含有30°,45°角的直角三角形,分别求出30°,45°,60°角的所有三角函数值.

【师生活动】

学生画图,根据直角三角形的知识和三角函数定义,独立推导各三角函数值,然后小组成员交流推导结果,教师提示可以用字母表示三角形的一条边长,然后计算各三角函数值,对学生推导的结果教师作出点评,共同完成下列表格.

【课件展示】

锐角A

锐角

30°

45°

60°

三角函数

sin A

cos A

tan A

1

【思考】

观察表格中特殊角的三角函数值,你能发现什么结论?

【师生活动】

学生进行小组讨论,教师巡视中帮助有困难的学生,并对学生的回答作出点评,只要学生说得有理,就要给予肯定和鼓励.

【结论】

(1)正弦、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.

(2)sin 30°=cos

60°,sin 60°=cos

30°,sin 45°=cos

45°,故sin α=cos (90°-α),cos α=sin (90°-α),其中α为锐角.

(3)0

思路二

【思考】

(1)在直角三角形中,30°角所对的直角边和斜边之间有什么关系?

(2)设30°角的对边为k,你能用k表示三角形的各边长吗?

(3)利用三角函数定义,分别求出30°,60°角的各三角函数值.

(4)含有45°角的直角三角形有什么特点?

(5)设等腰直角三角形的腰长为k,你能用k表示直角三角形的斜边吗?

(6)利用三角函数定义,求出45°角各三角函数值.

【师生活动】

学生逐步回答教师提出的问题,通过计算得出30°,45°,60°角的各三角函数值.师生共同完成下表:

【课件展示】

锐角A

锐角

三角函数

sin A

cos A

tan A

30°

45°

1 60°

【思考】

(1)观察表格中数据,当锐角α增大时,它的正弦、余弦、正切怎样变化?

(2)表格中哪些角的三角函数值是相等的?

(3)根据(2)猜想正确结论.

(4)观察表格中数据,锐角α的正弦、余弦值与1之间的大小有何关系?

【师生活动】

学生进行小组讨论,教师巡视中帮助有困难的学生,并对学生的回答作出点评,只要学生说得有理,就要给予肯定和鼓励.

【结论】

(1)正弦、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.

(2)sin 30°=cos

60°,sin 60°=cos

30°,sin 45°=cos

45°,故sin α=cos (90°-α),cos α=sin (90°-α),其中α为锐角.

(3)0

[设计意图]

学生在教师提出的问题的引导下,完成特殊角的三角函数值的推导,并通过观察得到锐角三角函数的一些性质.学生通过动手画图、计算验证得出结论,让学生经历知识的形成过程,加深对知识的理解和掌握,同时学生之间的讨论、交流,增强了学生之间的合作能力.

二、例题讲解

(教材例3)求下列各式的值.

22

(1)cos60°+sin60°;

(2)

-tan 45°.

【师生活动】

教师边提问边解答该题,同时板书解题过程,教师强调易错点.

解:(1)cos60°+sin60°=

(2)

22

+

=1.

-tan 45°=÷-1=0.

(教材例4)(1)如图(1)所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=

,BC=

,求∠A的度数;

(2)如图(2)所示,AO是圆锥的高,OB是底面半径,AO=

OB,求α的度数.

【思考】

(1)图(1)中,在Rt△ABC中,边长AB,BC与∠A有什么关系?sin A===

(2)哪个锐角的正弦值等于?sin 45°=

(3)图(2)中,在Rt△AOB中,OB,AO与α有什么关系?tan α= =

(4)哪个锐角的正切值等于

?(tan 60°=

)

【师生活动】

学生独立思考后,小组合作交流,完成解答过程,小组代表板书解题过程,教师点评,师生共同归纳解题方法.

解:(1)∵sin

A= =

=

,∴∠A=45°.

(2)∵tan

α==

=

,∴α =60°.

【归纳】

要求一个直角三角形中一个锐角的度数,可以先求它的某一个三角函数的值,如果这个值是一个特殊值,那么我们就可以求出这个角的度数.

[设计意图]

在教师的引导下完成例题的分析和解答,正确认识特殊角的三角函数值,熟练掌握由特殊角求三角函数值,由特殊三角函数值求出对应角的度数,通过探索解题过程,提高学生分析问题、解决问题的能力,通过对题型方法技巧的总结,培养学生归纳总结能力.

[知识拓展]

(1)结合图形(如图所示)及其中的数据和三角函数定义来计算特殊角的三角函数值,从而记住结果.

(2)对于其他相关角的三角函数值,往往用定义求解,15°,22.5°,75°角等.

(3)等边三角形、等腰直角三角形及与30°,45°,60°角相关联的其他三角形问题,常常要用特殊角的三角函数值解答.

1.特殊角的三角函数值:

锐角A

锐角

三角函数

sin A

cos A

tan A

30°

45°

1 60°

2.求含有特殊角的三角函数的代数式.

3.已知特殊的三角函数值求特殊角.

1.计算3tan 30°的值等于

(

)

A.

B.3

C.

D.

解析:3tan 30°=3×

=

.故选A.

2.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,若sin A=,且∠B=90°-∠A,则sin B等于

(

)

A.

B.

C.

D.1

解析:∵sin

A=

,∴∠A=30°,又∠B=90°-∠A,∴∠B=60°,∴sin

B=sin 60°=

.故选C.

3.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,sin A=,cos B=,则△ABC的形状为

三角形.

解析:∵sin

A=

,cos B=

,∴∠A=30°,∠B=45°,又∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=105°,∴△

ABC为钝角三角形.故填钝角.

4.计算.

(1)2sin 30°-

cos 45°;

(2)tan 30°-sin 60°·sin 30°;

(3)

-

.

解:(1)2sin 30°-

cos 45°=2×

-

×

=1-1=0.

(2)tan 30°-sin 60°·sin 30°=-×=-=.

(3)

-

=

-

=

-

=

-1.