正弦、余弦、正切函数的简单应用公开课教案

28.2.2

三角函数应用举例

第课时

1.了解仰角、俯角等有关概念,经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决实际问题.

2.通过在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题.

1.经历将实际问题转化为数学问题的探究过程,提高应用数学知识解决实际问题的能力.

2.通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题,让学生体会数学知识的发生、发展、应用过程,并发展学生的动手能力.

3.经历从实际问题构建数学模型的过程,体会数学来源于生活又应用于生活.

1.学生积极参与探索活动,并在探索过程中发表自己的见解,体会三角函数是解决实际问题的有效工具.

2.通过探索三角函数在实际问题中的应用,感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神.

3.让学生在自主探索、合作交流中获得成功的体验,建立自信心,让学生在解决问题的过程中体会学数学、用数学的乐趣.

【重点】

能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系.

【难点】

正确理解题意,将实际问题转化为数学模型的建模过程.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P74~75.

导入一:

【复习提问】

1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.

(1)三边a,b,c有什么关系?

(2)∠A,∠B有怎样的关系?

(3)边与角之间有怎样的关系?

2.解直角三角形应具备怎样的条件?

【师生活动】

学生回答问题,教师点评归纳.

导入二:

如图所示,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子AB的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一架长6 m的梯子.

(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙?

(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时,α等于多少度?此时人能否安全使用这架梯子?

【师生活动】

学生小组内讨论解题思路,小组代表回答解题思路,教师巡视中帮助有困难的学生,对学生的回答作出点评,然后导出新课.

[设计意图]

通过复习解直角三角形的有关知识,为本节课的用解直角三角形解决实际问题做好铺垫,以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,以解决生活实际问题引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义.

[过渡语]

刚才的导入中用解直角三角形的知识解决了实际生活问题,在生活实际中还有许多问题可以用解直角三角形的知识解决,让我们一起去探究吧!

一、活动一

(教材例3)2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行,如图所示,当组合体运行到地球表面P点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400 km,π取3.142,结果取整数)?

思路一

师生合作探究:

(1)从组合体上最远能直接看到的地球上的点,应该是视线与地球相切时的切点.

(2)根据题意画出平面图形.

(3)所要求的距离是图形中的哪条线段的长度?

(4)已知中有哪些条件?求弧长需要知道哪些条件?

(5)弧所对的圆心角在哪个三角形中?你能求出这个角的度数吗?

(如图②所示,☉O表示地球,点F是组合体的位置,FQ是☉O的切线,切点Q是从组合体中观测地球时的最远点.弧PQ的长就是地面上P,Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出∠POQ(即α)的度数)

【师生活动】

教师通过提出的问题引导学生分析思考,指导学生画出平面图形,分析已知条件和所求的结论,师生共同分析题意及解题思路后,学生独立完成并板书解题过程.

【课件展示】

解:设∠POQ=α,在图②中,FQ是☉O的切线,△FOQ是直角三角形.

∵cos

α==≈0.9491,

∴α≈18.36°.

∴弧PQ的长为×6400≈×6400≈2051(km).

由此可知,当组合体在P点正上方时,从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051 km.

思路二

教师引导思考:

(1)要解决实际问题,首先要做什么?(将实际问题抽象成数学问题)

(2)如何根据题意画出平面图形?(地球平面图形是圆,组合体近似看作点)

(3)从组合体中看到的地球表面最远的点在什么位置?(过点作圆的切线,切点即为所求)

学生操作:画出平面示意图.

(4)最远点与P点的距离在示意图中指的是什么的长?

(5)如何求这段距离?和圆有什么关系?

(6)如何将所需数据转化为解直角三角形的知识?

【师生活动】

学生尝试根据图形写出解题思路,教师巡视过程中及时帮助有困难的学生,课件展示解题过程,规范解题格式.

【课件展示】

解答同思路一.

[设计意图]

引导学生画出示意图,把实际问题转化为数学问题,分析实际问题中的数量关系,利用解直角三角形的知识解决实际问题,让学生经历作图、分析过程,体会数形结合思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力.

二、活动二

【思考】

平时我们观察物体时,我们的视线相对于水平线来说可有几种情况?

【归纳】

视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角是仰角,视线在水平线下方的角是俯角.

(教材例4)热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120 m,这栋楼有多高(结果取整数)?

教师引导分析:

(1)如何根据题意画出符合题意的几何图形?(画出示意图如图所示)

(2)分析题意,已知条件有哪些?

(3)你能直接求出AB的长吗?

(4)如何求出BC的长?(线段BD与线段CD的和)

(5)在Rt△ABD中,能否求线段BD的长?

(6)在Rt△ACD中,能否求线段CD的长?

【师生活动】

教师引导学生思考问题,然后独立完成解题过程,教师巡视过程中及时发现问题,并帮助有困难的学生解决问题,然后课件展示解题过程,规范解题格式.

【课件展示】

解:如图所示,α=30°,β=60°,AD=120.

∵tan

α=,tan β=,

∴BD=AD·tan α=120×tan

30°

=120×

=120×=40=120,

CD=AD·tan β=120×tan

60°

.

+120

∴BC=BD+CD=40

=160≈277(m).

因此,这栋楼高约为277 m.

[设计意图]

学生在教师设计的问题串的引导下思考,独立完成解题过程,进一步让学生体会将实际问题转化为数学问题的建模过程,培养学生建模思想,灵活应用解直角三角形知识解决有关线段的长的计算问题,提高学生的数学思维及解题能力.

三、活动三:

【思考】

你能总结利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程吗?

【师生活动】

学生思考后小组合作交流,共同归纳解题过程,教师对学生的回答以鼓励为主,将学生的回答补充完整.

【归纳】

(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题);

(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形;

(3)得到数学问题的答案;

(4)得到实际问题的答案.

[设计意图]

通过例题的探究,归纳解决实际问题的一般步骤,培养学生归纳总结能力和建模思想.

[知识拓展]

仰角与俯角都是视线与水平线的夹角.

用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程:

(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题);

(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;

(3)得到数学问题的答案;

(4)得到实际问题的答案.

第1课时

1.活动一

2.活动二

3.活动三

一、教材作业

【必做题】

教材第78页习题28.2第2,3,4题.

【选做题】

教材第79页习题28.2第8题.

本节课的内容是应用解直角三角形的知识解决实际问题.教学的重、难点是建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,通过对知识点的梳理、分析例题的解题思路、例题变式练习及巩固练习等教学设计,学生在教师的引导下,通过独立思考、自主学习、合作探究等数学活动,充分调动学生参与课堂的积极性,让学生敢于提出问题、分析问题,使不同层次的学生在数学课堂上都得到发展,提高了解决问题的能力,课堂上绝大部分学生能很好地掌握了如何构建模型的解决方法,很好地达到了本节课的教学目的.

本节课是锐角三角函数的应用举例,学生对教材例1画出示意图,建立数学模型的理解较难,给学生思考、交流时间较少,造成学生认为本节课的学习较难,失去了学习兴趣,在以后对例1的教学中,教师多设计几个问题引导学生思考,给学生较长时间交流、计算,把理解的难度通过问题降低.另外,对基础较差的学生,对该数学的应用不是那么得心应手,不会合理找出边角关系,所以在以后教学中不宜多讲,多给学生时间思考与交流.

本节课是解直角三角形的应用,难点是建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,在教学设计中,应该把注意力集中在学生的思维上,提高学生的思维品质,在课堂上,学生在教师提出的问题的引导下,通过独立思考、自主学习、合作探究等数学活动,画出示意图,构建出数学模型,然后独立完成解答,最后归纳解题思路和步骤,让课堂真正成为学生活动的场所,成为展示自我的舞台,达到提高学生分析问题、解决问题的能力、提高学生数学思维的目的.