信息技术应用 用Excel解线性规划问题举例ppt配套的板书设计及意图

《基本不等式》教学设计

所在单位

学科

一、教学目标: 1.理解基本不等式的内容及证明. 2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小. 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式. 二、学情分析：

对于高二的学生,不等式并不陌生,前面学习了不等式及不等式的性质,能够进行简单的数与式的比较,本节所学内容就用到了不等式的性质,所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式,接受上是容易的,争取让学生真正意义上理解基本不等式。

三、教材内容：

本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时,它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在探究基本不等式内涵和证明的过程中,能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;培养学生形成数形结合的思想意识;在应用的过程中,通过对条件的转换和变式,有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯,进而形成严谨的思维方式。

数

学

固始县慈济高级中学

设计教师

张

利

1

四、教学方法设计：

开放式探究教学法即问题导入，观察思考；教师引导探究；讲练结合，实践验证。

五、教学过程：

知识点一

算术平均数与几何平均数

a＋b梳理

一般地，对于正数a，b，2为a，b的平均数，ab为a，b的平均数.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即aba＋b≤2. 知识点二

基本不等式及其常见推论

a＋bab≤2(a>0，b>0).当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论：

22a＋ba＋b2(1)ab≤≤2(a，b∈R)；

2ba(2)a＋b≥2(a，b同号)；

(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R). 题型探究

类型一

常见推论的证明

例1 证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R).

证明

∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，

∴a2＋b2≥2ab.

反思与感悟

作差法与不等式性质是证明中常用的方法

跟踪训练1 已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab

＋bc＋ca.

2

证明

∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，

∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，

即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，

当且仅当a＝b＝c时，等号成立.

类型二

用基本不等式证明不等式

例2

已知x，y都是正数. 求证：(1)＋≥2；

证明

∵x，y都是正数，

yxxyxy∴>0，>0，

yxyx∴x＋y≥2yxyx·＝2，即xyx＋y≥2，

当且仅当x＝y时，等号成立.

(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 证明

∵x，y都是正数，

∴x＋y≥2xy>0，

x2＋y2≥2x2y2>0，x3＋y3≥2x3y3>0.

∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)

≥2xy·2x2y2·2x3y3＝8x3y3，

即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，

当且仅当x＝y时，等号成立.

反思与感悟

利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项

(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征

3

是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2)注意事项：

①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.

跟踪训练2 已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋

a)≥8abc.

证明

∵a，b，c都是正实数，

∴a＋b≥2ab>0，b＋c≥2bc>0，c＋a≥2ca>0. ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2ab·2bc·2ca＝8abc.

即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，

当且仅当a＝b＝c时，等号成立.

达标检测

1.对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立.( ) 1＋22.2≥2.( ) a＋b3.若a>0，b>0，则ab≤2恒成立.( ) [思考辨析 判断正误] 1.若0

a＋bA.a>2>ab>b

a＋bC.b>2>ab>a

a＋bB.b>ab>2>a

a＋bD.b>a>2>ab

a＋b解析

∵0a＋b，∴b>2>ab.

4

a＋b∵b>a>0，∴ab>a，∴ab>a.故b>2>ab>a. 22.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（ ）

A.lg(x2＋1)≥lg(2x)

B.x2＋1>2x

11C.2≤1

D.x＋x≥2 x＋1解析

对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；

对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；

对于D，当x<0时，不成立；

1对于C，x＋1≥1，∴2≤1成立.故选C. x＋123.四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则

a＋dA.2>bc

a＋dB.2

a＋dD.2≤bc

a＋dC.2＝bc

解析

因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，

又因为a，b，c，d均大于0且不相等，

a＋db＋c所以b＋c>2bc，故2＝2>bc. 4.lg 9×lg 11与1的大小关系是

A.lg 9×lg 11>1

C.lg 9×lg 11<1

B.lg 9×lg 11＝1

D.不能确定

解析

∵lg 9>0，lg 11>0，

lg 9＋lg 112lg(9×11)2

∴lg 9×lg 11≤＝22lg 992lg 1002＝2<2＝1，



5

即lg 9×lg 11<1.

5.设a>0，b>0，给出下列不等式：

11①a＋1>a；②a＋ab＋b≥4；

211③(a＋b)a＋b≥4；④a2＋9>6a.

其中恒成立的是_①②③_.(填序号) 123解析

由于a＋1－a＝a－2＋4>0，故①恒成立；

211由于a＋a≥2，b＋b≥2，

11∴a＋ab＋b≥4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立；

11由于a＋b≥2ab，a＋b≥21ab，

11故(a＋b)a＋b≥4，当且仅当a＝b时等号成立，故③恒成立；



当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立.

综上，恒成立的是①②③.

规律与方法

a＋b1.两个不等式a＋b≥2ab与2≥ab都是带有等号的不等式，对22于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解.一方面：a＋ba＋b当a＝b时，2＝ab；另一方面：当2＝ab时，也有a＝b。

2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式。

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六、板书设计：

a＋b3.4基本不等式：ab≤2

知识点一

算数平均数与几何平均数 类型一 类型二

知识点二

基本不等式及其常见推论 例1

例2 规律与方法

跟踪训练1 跟踪训练2 七、技术运用：简易多媒体动态演示

八、资源引用：多媒体网络

九、创新点：

在这节课的教学中，我充分利用多媒体设备，在教学活动中，用幻灯片出示问题，让学生先思考解题，再用幻灯片出示规范的解答过程，让学生能加深印象。使用多媒体课件演示，既能让学生在课堂上节省时间，加深对知识点的理解和记忆，又能激发学生学习数学的兴趣，对于数学教学来说，是很好的教学辅助工具。

十、教学反思：

（1）在两个不等式的证明上讲得过于简单，基本一带而过。

（2）习题的选择还应多补充利用不等式求最值问题，多从和定、积定两方面设计相关练习,让学生逐步熟悉基本不等式求最值的方法。 （3）课堂应多发挥学生的主体性地位,设计好教学问题，多放手让学生做,让学生主动思考,并要学会提有深度的教学问题。

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