小结教学实录及点评

基本不等式

张

巨

洪

教学重点：

会用基本不等式解决简单的最大最小值问题

教学难点：

利用均值不等式求最值时，应注意的问题①各项均为正数，②求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值。③确保等号成立。可概括“一正、二定、三相等”。

教学过程：

善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式，从而进一步突破难点。变式练习的设计加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质

情感与价值：

发展创新精神，提高学习数学的兴趣

讲解新知：

a＋b1．基本不等式：ab≤2

2．几个重要的不等式

ba(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)a＋b≥2(a，b同号)；

a2＋b2a＋b2a＋b2(a，b∈R)；(4)(a，b∈R)．

(3)ab≤≥222

类型一：一正二定三相等

1例1（1）求函数y＝x＋x(x＞0)的值域；

1解：∵x＞0，∴y＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号．

x1（2）求函数y＝x＋x(x＜0)的值域；

解：∵x＜0，∴－x＞0，∴f(x)＝x＋＝－[1x1(x)]

x∵11(x)≥2，当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立．

xx∴f(x)＝x＋=-[1x1(x)]≤－2，∴f(x)的最大值为－2. x1（3）求函数y＝x＋x(x≥3)的值域。

110解：∵y＝x＋x在x≥3时单调递增，所以ymin

3（4）已知0

1

11931解：由x(3－3x)＝3×3x(3－3x)≤3×4＝4，当且仅当3x＝3－3x，即x＝2时等号成立．

例2．若x>1，则x＋解：x＋4的最小值为________．

x－144＝x－1＋＋1≥4＋1＝5. x－1x－14，即x＝3时等号成立．

x－1当且仅当x－1＝类型二：1的代换

14例3：已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝a＋b的最小值是

(

) 79A.2

B．4

C.2

a＋b

解：∵a＋b＝2，∴2＝1. 1414a＋b52ab5＝＋＋≥＋2 ∴a＋b＝a＋b22b2a22abb·2a

D．5 2ab9149当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立＝2.

故y＝a＋b的最小值为2. b2a类型三：子高母低（分）

x2＋x＋3例4：求函数y＝(x＞－1)的值域．

x＋1x2＋x＋3x＋12－x＋1＋33解：y＝＝＝x＋1＋－1，

x＋1x＋1x＋1由x>－1，知x＋1>0. 3∴(x＋1)＋≥2x＋1当且仅当x＋1＝3x＋1×＝23，

x＋13，即x＝3－1时等号成立，

x＋1∴y≥23－1，故函数的值域为[23－1，＋∞)．

练习.求函数yk24k321的最小值. 3，

3解：令t1k23，则0t

2

则yk24k231=(k23)1k231k2311=t1

tk2311而yt1在（0，1）上是减函数，

t所以当t13433时，yt1的最小值是311

t333即函数yk24k231的最小值为431。

3x27x10(x1)的值域

练习:求函数yx1x27x10(x1)25x95(x1)4(x1)解：y

x1x1x1

(x1)445t5(t0)

y9或y1

x1t类型四：子低母高(同除) 2x的最大值为________．

x＋12x22解：(1)∵x＞0，∴f(x)＝2＝1≤2＝1，

x＋1x＋x例5．(1)当x＞0时，则f(x)＝21当且仅当x＝x，即x＝1时取等号．

练习.求函数yx2的最大值. 2x5t2t12解：令x2t(t0)，则xt22,y当t0时，y0；当t0时，y(t0)

12t1t122t1t2，

4132当且仅当2t=，即t，即x时等号成立，

2t2故所求最大值为练习：求函数y32（x）

24t2t21(t1)的值域 求函数y2x1的值域

x2x2

3