阅读与思考 海伦和秦九韶教案2

等比数列前 n项和

授课人：郑江

一、教材分析与学情分析

1、

教材分析

（1）

教学内容

《等比数列前n项和》是高中必修教材高一第一册第三章数列中3.5节内容，本节内容分为两课时，一节为等比数列前

项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前

项和公式的综合运用。 （2）

地位和作用

本节课在掌握了等差数列求和及等比数列的相关性质的基础上的更深一步学习。并且在前面学习中学生基本掌握了数列学习的相关基础知识和学习方法，所以进行类比学习，学习过程中等比数列前

项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证明结论.。等比数列前

项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣。

2、

学情分析

（1）

已有基础知识与学习经验分析

（2）

学生能力分析

二、教学目标

知识与技能目标

（1）通过教学使学生掌握等比数列前

项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前

项和. （2）能推导等比数列的前n项和公式，并记住这个公式．

（3）能应用等比数列的前n项和公式进行有关计算

（4）能用等比数列的前n项和公式的知识解决些实际问题．

方法与过程目标

（1）

通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质. （2）

进一步培养探索的品质和能力，建立类比思想方法和分类讨论思想的深入。

情感与态度目标

（1）

通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度. （2）

了解数学源于生活并运用于生活的辩证观点，体验数学的惊奇。

教学重点：

教学重点是公式的推导及运用

教学难点：

教学难点是公式推导的思路. 突出重点、突破难点的方法和策略

先用错位相减法推出等比数列前

项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前

项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前

项和. 教学重点、难点是等比数列前

项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法（如分类讨论思想，错位相减法等），这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前

项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法. 等比数列前

项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意

两种情况. 教学用具

幻灯片，课件，电脑. 教学方法

引导发现法. 三、教学过程

一，

回顾中考，引入课题：

（学生才深入高中，对充实而富有成就感的初三生活还充满回忆和留念）

中考零距离

(2006年成都市)如图，如果以正方形ABCD的对角线

AC为边作第二个方形ACEF，再以对角线AE为边作

第三个正方形AEGH，如此下去，…已知正方形ABCD

的边长AB＝a，按上述方法所作的正方形ACEF、正方形AEGH、…. 的周长为C2,C3, …,Cn(n为正整数)，面积为

S2,S3, …,Sn(n为正整数)那么第n个正方形的周长为I

n1n122aCn=42a.面积为Sn=_______.

EJG

FCD

问题提出：

HBA想一想

正方形边长为1cm,依次以前一个正方形的对角线为边长作正方形，这样坐车的64个正方形的面积之和有多大呢？

大胆猜想：有我校操场大吗？有我国国土面积大吗？能覆盖整个地球全部表面吗？

学生通过思考列示：S64=1+2+22+…+262+263

为了解决这个问题; 引入课题：《等比数列的前ｎ项和》

和

aaqaqaq...an1q（定义）

aq(aaa...an1)a1q(Snan)na1anqa（1q）1Sn

或sn当q≠1时，1q1q当q=1时，Sn=na1

方法二：（错位相减法）

Sn = a1 + a2 + a3

+ …+ an-1 + an

Sn= a1+a1q +a1q2

+…+a1qn-2 + a1qn-1

(1)

qSn =a1q + a1q2

+…+a1qn-2 +a1qn-1

+ a1qn

(2) 两式相减有

( 1 – q )Sn = a1

– a1 q n

当q≠1时，

问题转化：* 等比数列{an}中，

已知a1,q,n(an),求Sn

公式推导：

方法一：(借助和式的结构特征进行恒等变形)

n123n

1123

1123

Saaa...aa1(1qn)a1anqSn1q1q当q=1时，1

n方法三：(构造法) an-_bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1) “赋值”

令a=1,b=q

则1-qn=(1-q)(1+q+q2+…+qn-1)

两边同乘a1,

a1(1-qn)=(1-q)(a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1) a1(1-qn)=(1-q)(a1+a2+a3+…+an)

a1(1-qn)= (1-q)Sn

结论同上。

Sna方法总结：



上述几种求和的推导方式中第一种依据的是方程思想

进行推导,第二种则是根据错位相减法而得,而第三种方法我们称之为构造法

公式分析：

(q1)na1



Sna1(1qn)a1anq(q1)

1q1q



由

Sn , an , q , a1

, n

知三而可求二。

问

题

解

决

S64=18446744073709551615cm2≈1844674407km2

约为我国国土面积的171倍；约为地球表面积的3.6倍

（地球表面积约为514718540km2）

二、练习巩固：

练一练

111

例1已知等比数列，，，.

248(1) 求前

8项之和. (2) 求第5项到第10项的和. (3) 求此数列前

2n 项中所有偶数项的和. （设计说明：熟悉等比数列的求和公式，并且能够熟练的选择一个适用的公式）

想一想

例2:某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使销售量达到30000台（结果保留到个位，其中0.? 2（

lg

1

.

1



0

.

041

，

lg

1

.6



）分析：第1年销售量为

5000 第2年销售量为

5000×(1+10%)=5000×1.1 第3年销售量为

5000 ×1.1×(1+10%)= 5000 ×

1.12 ……

第n年销售量为

50001.1n1则n年内的总销售量为：

5000

50001.150001.1250001.1n1

（设计说明：感受数学知识来源于生活且回归生活实际的辨证观念）

算一算

例3:设等比数列｛an｝的前n项和为Sn,已知S4=1,S8=17,求｛an｝的通项公式. （设计说明：等比数列求和公式的进一步熟悉，理解从方程的角度看公式。）

警戒点

2n例4：求和(a1)(a2)...(a

分类讨论：

n(n+1)

解：当a0时，原式=-;

2

n(n+1)

当a1时,原式=n-;2

2n)当a1时,原式=(aa...an) (12...n)aan(n+1) =-.1a2n1

（设计说明：警戒点的设置，学生更能感受公式使用时的关键所在）

思考：

数列1，1+2，1+2+22，… 1+2+22+…+2n，…的前n项和Sn等于多少？

解：数列的通项公式为：an= 1+2+22+…+2n-1

an= 1+2+22+…+2n-1=2n-1

∴

Sn =a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an

=（2-1）+（22-1）+…+（

2n-1）

=（1+2+22+…+2n）-n =2n+1-n-2

四、课堂小结：

等比数列求和公式的推导及思想方法

公式运用需要注意什么呢

五、作业：

一教材：习题

3.5

1~3 《二教》：完成P113~114

六、板书设计

等比数列前n项和

公式推导：

公式

方法一

练习及例题

方法二

方法三

方法四

七、教学流程

引入

问题提出

方法推导

方法一

方法二

方法三

方法四

公式总结分析

问题解决

练习

课堂小结、作业