小结第二课时教学设计

《基本不等式教案》

一、教学目标

1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→

剖析归纳证明→

几何解释→

应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

二、教学重、难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式ab用。

难点：基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

三、教学方法

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。

四、教学准备

白纸、板书

五、教学过程

一、

创设情景，提出问题；

设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实．基于此,设置如下情境: 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，

会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，

颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

问题1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

分析：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2。

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

ab的证明过程及应2

本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab2ab。在此基础上，引导学生认识基本不等式。

新知：若a,bR，则ab2ab

一般地，对于任意实数a,b，有ab2ab，当且仅当a＝b时，等号成立。

问1：你能给出它的证明吗？

学生在黑板上板书。

教学情境二：

先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，

再用这两个三角形拼接构造出一个矩形

（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．

假设两个正方形的面积分别为a和b（ab）

问题2：考察图中两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？

新知：若a,bR，则ab[问] 你能给出它的证明吗？

【板书】两个重要不等式

若a,bR，则ab222222b

a

ab，

2ab（当且仅当ab时，等号成立）

2若a,bR，则a2b22ab（当且仅当ab时，等号成立）

二、探究基本不等式的几何意义：借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式ababab(a,b0)ab(a,b0)22的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。

如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，CD⊥AB，AC=a,CB=b，CD

Dab

abab2abOCAB几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦（直径是最长的弦）；或者认为是，直角三角形

斜边的一半不小于斜边上的高。

【归纳总结】

如果a,b都是正数，那么abab，当且仅当a=b时，等号成立。

2ab称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数。、2我们称此不等式为基本不等式。

其中【理解升华】：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

.如果把ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：2两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 三、学以致用，我们可以两个重要不等式来解决什么样的问题呢？

公式应用之一：

(1)若x0,x1的最小值为________,此时x_________.

x若a>0,b>0,且a+b=2,则ab的最大值为_______,此时a=_____,b=_____。

公式应用之二：（最优化问题）

（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

【板书】利用基本不等式求最值时，一定要注意三个限制条件（一正二定三相等）缺一不可。

※分享收获: 对于x,yR，

（1）若xyp（定值），则当且仅当ab时，xy有最小值2p；

s2（2）若xys（定值），则当且仅当ab时，xy有最大值．

4

习题设计

1.求下列函数的最值（利用基本不等式求最值）

（1）yx

（2）若x2，求yx

2.已知直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？

（利用基本不等式求最值；难度★★★）

3.下列函数的最小值为22的是：（一正二定三相等；难度★★★★）

A．yx1(x0)的最小值（难度★） x1的最小值（难度★★）

x222 B．ysinx,x0,

xsinx2 C．yx2y2,xy0

D．

ylgx,x0,

yxlgx六、反思总结，整合新知：

通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教？

一个不等式：若a0,b0，则有ababab，当且仅当a=b时，ab。

22两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。

三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”