复习参考题教案范文

3．4 基本不等式

第一课时 基本不等式（一）

一、教学目标

(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释。

(2)过程与方法

：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质。

(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力。

二、教学重点、难点

教学重点：1.探索并了解基本不等式的证明过程。

2.能利用基本不等式求函数的最值。

教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵。

三、教学过程

（一）

探究

提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？

（a2b2，a2b2）

提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？

（2ab

）

提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，a2b22ab。什么时候这两部分面积相等呢？

（当直角三角形变成等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH变成一个点，这时有a2b22ab）

结论：一般地，对于任意实数

a、b，我们有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立。

提问4：你能给出它的证明吗？

证明:a2b22ab(ab)2 22

当ab时，(ab)0当ab时，(ab)0

所以

a2b22ab

注意强调

（1）

当且仅当ab时, a2b22ab

(2)

特别地,如果a0,b0,

用a和b代替a、b，可得ab2ab,也可写成ab导

ab(a0,b0),引导学生利用不等式的性质推2abab(a0,b0)的几何解释吗？

2提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等式ab称2为ab的算术平均数，ab为a,b的几何平均数。

（二）举例分析

例1、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

解：分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值

（1）设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则xy100,

篱笆的长为2（xy）m。

由 xyxy，可得 xy2100 2（xy）40

2等号当且仅当xy时成立，此时xy10，

因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m （2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大

设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则2（xy）=36，xy=18，矩形菜园的面积为xym2，

由 xyxy189, 可得 xy81, 22可得等号当且仅当

xy时成立，此时xy9 因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2

（三）巩固练习

1.已知两个正数a,b的积等于36，则当a_____，b_____时，它们的和最小，最小值等于_____. 2.已知两个正数a,b的和等于18，则当a_____，b_____时，它们的积最大，最大值等于_____.

（四）、应用

练1、若

x0

，求yx

变1：若

a0,b0

，求y

（五）课堂小结

1. 两个不等式

“”（1）aR,bR，a2b22ab，当且仅当ab时，取号

1的最小值. xba的最小值. ab（2）abab“”(a0,b0)，当且仅当ab时，取号

2

注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。

2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。

2.不等式的简单应用：主要在于求最值

把握

“七字方针”

即

“一正，二定，三相等”

四、作业

P.100

习题3.4

A组

第2题

五、