复习参考题名师教学设计

3.1.1 不等关系与不等式

1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．

2．了解不等式(组)的实际背景．

3．能用作差法比较大小．

1．不等关系与不等式

(1)不等式中自然语言与符号语言之间的转换

大于

＞

小于

＜

大于等于

≥

小于等于

≤

至多

≤

至少

≥

不小于

≥

不大于

≤

(2)不等式的定义：含有______的式子．

【做一做1】某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h米满足关系为(

)．

A．h＜4.5

B．h＞4.5 C．h≤4.5 D．h≥4.5

2．实数大小的比较

(1)数轴上的两点A，B的位置关系与其对应实数a，b的大小关系．

①数轴上的任意两点中，____边点对应的实数比____边点对应的实数大．

②数轴上点的位置与实数大小的关系(表示实数a和b的两个点分别为A和B)，如下：

点A，B的位置关系

实数a，b的大小关系

(2)比较两个实数的大小．

方法

作差法

点A和点B重合

点A在点B右侧

点A在点B左侧

a＝b a＞b a＜b

a－b＞0⇔a＞b

依据

a－b＜0⇔a＜b

a－b＝0⇔a＝b

对于任意两个实数a和b，在a＝b，a＞b，结论

a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立

【做一做2－1】下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是(

)．

A．a－b＞0 B．a－b＜0 C．a－b≥0 D．a－b≤0

＋【做一做2－2】设a，b∈R，P＝a＋b，Q＝a＋b，则P与Q的大小关系是(

)．

A．P≥Q B．P≤Q

C．P＞Q D．P＜Q

一、比较大小常用的方法

剖析：证明一个不等式和比较实数的大小一样，根据题目的特点可以有不同的证明方法．

(1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重要方法，但是它们又有自己的适用范围，对于不同的问题应当选择不同的方法进行解决．

①一般的实数大小的比较都可以采用作差法，但是我们要考虑作差后与0的比较，通常要进行因式分解，配方或者其他变形操作，所以，作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系．

②作商法主要适用于那些能够判断出恒为正数的数或者式子，具有一定的局限性，作商后要与1进行比较，所以，作商后必须易于变成能与1比较大小的式子，此种方法主要适用于那些含有幂指数的数或式子大小的比较，例如，比较ab与(ab)aba＋b2的大小就可以使用作商法．

③在解决这些问题的时候，根据实际情况选择其中一种合适的方法．要根据题目的具体结构特点，如是和差的形式一般用作差法，乘除的形式一般用作商法．

(2)要注意不等式与函数的结合，函数的图象和性质是解决不等式问题的重要工具，尤333其是函数的单调性．如：a＞b⇔a＞b，可根据幂函数y＝x在R上单调递增得到．

利用比较法来比较两个代数式或实数的大小时，注意分情况对变量进行讨论，讨论时应做到不重不漏．

二、教材中的“思考与讨论”

已知＝，如果c＞d，那么a＞b是否一定成立？请说明理由．

剖析：不一定成立．如c＝1，d＝－1时，c＞d，此时若a＝－1，b＝1，也满足＝，但不满足a＞b.

题型一

用不等式(组)表示不等关系

【例1】某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．

分析：解答本题只需用不等式表示上述不等关系即可．

反思：本题易忽略甲型卡车和乙型卡车的总和不超过驾驶员人数而导致错误．导致错误的原因是没有真正理解题意，因此解决此问题的难点是找出题中显性和隐性的不等关系．

题型二

比较两数的大小

32【例2】当x≥1时，比较x＋1与2x－2x＋2的大小．

分析：根据a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，只需比较所给两个式子的差值与0的大小即可．

反思：利用作差法比较大小时关键在于变形，变形的方向是将差式化成多因式积的形式，然后确定每个因式的符号，从而确定积的符号．变形中常用平方差、立方差、立方和公式，还可能用到通分、因式分解、分子(或分母)有理化等方法．

题型三

不等关系的实际应用

【例3】商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：

acbdacbd

(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；

(2)按总价的92%付款．

某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若设购买茶杯数为x个，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法的y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱．

分析：本题是一次函数问题，通过建立两种优惠办法的一次函数模型，然后利用作差法讨论选哪种优惠办法．

反思：利用作差法比较两个代数式的大小时，如果不能直接得出结果，就需要对某些字母的取值进行分类讨论．

题型四

易错辨析

bn－1an－111【例4】设a＋b＞0，n为偶数，比较n＋n与＋的大小．

ababbn－1an－111an－bn错解：n＋n－－＝abab∵n为偶数，∴(ab)＞0. nnn－1n－1又a－b与a－b同号，

∴nan－1－bn－1. abnan－bnan－1－bn－1bn－1an－111＞0，即n＋n－－＞0. abnababbn－1an－111∴n＋n＞＋. abab错因分析：n为偶数时，a－b和a－b不一定同号，这里忽略了在题设条件a＋b＞0且没有明确字母的具体值的情况下，要考虑分类讨论，即对a＞0，b＞0和a，b有一个负值的情况加以讨论．

nnn－1n－1

1下列不等式一定成立的是(

)．

A．－3＜－4

B．0≤0

C．3≥4 D．－5≤－6 2如果loga3＞logb3，且a＋b＝1，那么(

)．

A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C．1＜a＜b D．1＜b＜a

3若x＞1＞y，则下列不等式中不成立的是(

)．

A．x－1＞1－y B．x－1＞y－1 C．x－y＞1－y D．1－x＞y－x

334已知a＞b，则a与b的大小关系是________．

5用“＞、＜、≥、≤”号填空．

(1)(2a＋1)(a－3)________(a－6)(2a＋7)＋45；

22(2)a＋b________2(a－b－1)．

答案：

基础知识·梳理

1．(2)不等号

【做一做1】C 2．(1)右

左

【做一做2－1】C

【做一做2－2】C P＝(a＋b)＝a＋b＋2ab，Q＝(a＋b)＝a＋b.∵a，b∈R，22∴P＞Q.∴P＞Q. 典型例题·领悟

【例1】解：设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则

2222＋10×6x＋6×8y≥360，0≤x≤4，x∈N，0≤y≤7，y∈N，32x＋y≤9，

5x＋4y≥30，即0≤x≤4，x∈N，0≤y≤7，y∈N.x＋y≤9，

【例2】解：x＋1－(2x－2x＋2) 32＝x－2x＋2x－1 322＝x－x－(x－2x＋1) 22＝x(x－1)－(x－1)

2＝(x－1)(x－x＋1) 123＝(x－1)[(x－)＋]，

24123∵x≥1，∴x－1≥0，(x－)＋＞0，

24123∴(x－1)[(x－)＋]≥0.

2432∴x＋1≥2x－2x＋2. 【例3】解：由优惠办法(1)得：y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4)，

由优惠办法(2)得：y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4)．

y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4)，

令y1－y2＝0，得x＝34. 当购买34只茶杯时，两种办法付款相同；当4≤x＜34时，y1＜y2，优惠办法(1)省钱；当x＞34时，y1＞y2，优惠办法(2)省钱．

bn－1an－111(an－bn)(an－1－bn－1)【例4】正解：n＋n－－＝. nabab(ab)nnn－1n－1(a－b)(a－b)nnn－1n－1n(1)当a＞0，b＞0时，(a－b)(a－b)≥0，(ab)＞0，所以≥0，n(ab)bn－1an－111故n＋n≥＋. ab(2)当a，b有一个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，且a＋b＞0，所以a＞|b|.又n为偶nnn－1n－1n数，所以(a－b)(a－b)≥0，且(ab)＞0，

nnn－1n－1(a－b)(a－b)故≥0，

n(ab)bn－1an－111即n＋n≥＋. ababbn－1an－111综合(1)(2)可知，n＋n≥＋. abab随堂练习·巩固

1．B 不等式a≥b的含义是指“或者a＞b，或者a＝b”，不等式a≤b的含义是指“或者a＜b，或者a＝b”，根据含义可知只有选项B正确．

＋2．A ∵a＋b＝1，a，b∈R，∴0＜a＜1,0＜b＜1. lg 3lg 3∵loga3＞logb3，∴＞. lg alg b∴lg a＜lg b．∴0＜a＜b＜1. 3．A ∵x＞1＞y，

ab

∴x＋(－1)＞y＋(－1)，即选项B正确；

x＋(－y)＞1＋(－y)，即选项C正确；

1＋(－x)＞y＋(－x)，即选项D正确．

故选A. 3333224．a＞b

因为a－b＝(a－b)(a＋ab＋b) b23b2＝(a－b)[(a＋)＋]＞0，

2433所以a＞b. 5．＜

≥

(1)(2a＋1)(a－3)－[(a－6)(2a＋7)＋45]＝－6＜0，所以(2a＋1)(a－3)＜(a－6)(2a＋7)＋45；

222222(2)a＋b－2(a－b－1)＝(a－1)＋(b＋1)≥0，所以a＋b≥2(a－b－1)．