阅读与思考 海伦和秦九韶优质公开课教案

3．1.2

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(共2课时)

1.正确理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导过程及区别与联系，会推导两角和与差的正切公式．

2.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行化简、求值、简单的恒等变换．

3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．

知识回顾：1. 两角差的余弦公式：cos() 2. 它有哪些基本变式？

课前训练：（1）cos(－15°)＝________．

（2）sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°=

35（3）已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos (2π－β)=

513新课内容

一、问题引入，推导公式

问题1：

由公式

C

出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？

()结论1：

cos()sin？

sin()?问题2：在公式

C

、C

(





)的基础上能否推导出：

结论2：

sintan()?sin()问题3：

tan()?结论3：

tantan二、典例分析：

例1、利用和(差)角公式，求下列各式的值：

(1)sin15

(2)cos75

(3)tan105

例2、求值：

(1)cos42sin72sin42cos72

(2)cos(20)cos(40)sin(20)sin(40)sin47sin17cos30(3)

cos17(4)sin347cos148sin77cos58例3、求值：

1tan15(1)1tan15(2)tan23tan373tan23tan37

小结：正切公式的变形：

迁移训练：

在ABC中，tanBtanC3tanBtanC3,3tanA3tanB1tanAtanB,试判断ABC的形状。

3sin,cos,tan().sin例4、（1）已知

，

是第四象限角

，求：

4544

3

(2)已知0,且sin,求sin.254

3123

(3)已知,cos(),sin(),求cos2、cos2与tan2的值。

24135

解题策略：给值求值问题

1、角的变换技巧：一般将已知角相加或相减可得到所求角，有时需借助特殊角：

(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后借助辅助角把“所求角”变成“已知角”．

2、解题步骤：

（1）先求已知角的范围；

（2）再求已知角的另一个三角函数值（即由正弦求余弦，或由余弦求正弦，有时还需由正切求得正余弦值）；

（3）最后代入角的变换后得到的两角和差公式，然后展开求值。

2510,cos,求-.例5、

已知,均为锐角，且cos510

153变式：已知，（0，），且cos,sin(),求.

2714

解决给值(式)求角问题的方法

解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，π3πππ当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是2，2或－2，2时，选取求正弦值．

例6、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边的两个锐角为α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点，已知A，B两点的横坐标分别是(1)求tan(α＋β)的值；

(2)求α＋2β的值．

225和.

105

1．(2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(

) A．－3311

B．

C．－

D.

2222

2．在△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin(A－B)的值是(

) 77A.

B．－

C．1

D．－1 2525113．(2015·高考重庆卷)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝(

) 321155A.

B．

C.

D.

76764．在△ABC中，若A为钝角，则tan Btan C的值为(

) A．大于0且小于1

C．大于1

B．等于1 D．不能确定

π12ππα－＝＜α＜，则cos α＝________．

5．已知cos26136356．已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．

513

[课后能力提升] 1．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为(

) A．16

B．8

C．4

D．2 2.tan 18°＋tan 42°＋tan 120°＝________．

tan 18°tan 42°tan 60°

ππα＋＝sinα－，则tan α＝________．

3．已知cos334．化简下列各式：

ππ2πx＋＋2sinx－－3cos－x；

(1)sin333sin（2α＋β）(2)－2cos(α＋β)．

sin α

ππ13ππππ－α＝－，sin＋β＝，其中＜α＜，＜β＜，求角α＋β的值．

5．已知sin44224242

sin α＋2cos α16．已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.

35cos α－sin α(1)求tan(α＋β)的值；

(2)求tan β的值．

π5π32x＋，x∈R，且f＝7．已知函数f(x)＝Asin3122.

ππ0，，求f－θ.

(1)求A的值；

(2)若f(θ)－f(－θ)＝3，θ∈26

πsin（α＋β）－2sin αcos β1＋α＝2，tan β＝，求8．已知tan的值．

422sin αsin β＋cos（α＋β）