一 数学归纳法设计意图

2.3数学归纳法导学案

一、提出问题：

问题1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决．即对于数列，已知

，(

n=1,2,3…)，通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想出其通项公式没有进一步的检验和证明．

，但却问题2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨牌游戏)这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下．

二、思考问题：

思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？

思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？

三、独立自学：

看课本P92-P93，观察多米诺骨牌和数学归纳法有何相似之处？如何类比多米诺骨牌游戏解决我们的数学问题？

第一步

第二步

第三步

解决思考问题2：

由上，证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)证明当n取第一个值(2)假设n=k(k≥,()时命题成立；

)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

对从开始的所有正整数n都成立．

多米诺骨牌

数学归纳法

由以上两个步骤，可以断定命题这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具．

四、典例分析

例1、

用数学归纳法证明分析：（1）()．

时：左边=________，右边=_________，左边_____右边，等式成立。

2）假设n=k时命题成立，即当n=k时，等式左边共有______项,第k项是__________ 。

左边=____________________________________=右边

3）当n=k+1时，需要证明的命题的形式是什么？

左边=________________________________,

右边=________________________________

思考1：左边增加的项是__________________,

思考2：从左到右如何变形证明？

- 1 -

_________________________________________________________________________

∴当时等式也成立。

，原等式均成立

由

（1）、（2）可知，对一切点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话：

递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。

思考：用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n．如下证明过程对吗？

21

右边证明：①当n=1时，左边＝

1

等式成立

＝

②设n=k时，有

35.........(2k1

1)k21所以：当n=k+1时

35...........(2k1)[2(k1)1][12(k1)1](k1)2(k1)2

即n=k+1时，命题成立。

根据①②问可知，对n∈N，等式成立。

2＊练习：用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2

n

－1）＝n．

证明：①当n=1时，左边＝1

右边＝

1

等式成立

②设n=k时，有

135.........(2k

1)k2

所以：当n=k+1时

_________________________________________________________________________________

即n=k+1时，命题成立。

＊根据①②问可知，对n∈N，等式成立。

反思总结：

1．归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；

2．数学归纳法作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关数学命题，它的基本思想是递推思想，它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；

3.递推归纳时从时第一步中到，必须用到归纳假设，并进行适当的恒等变换。注意明等式时应增加的式子；第二步中证明时的形式（这样才时左右两边的形式，第二步中命题成立是全局的主体，主要注意两个“凑”：一是“凑”好利用归纳假设），二是“凑”目标式。

- 2 -