2.基本不等式课堂实录【1】

基本不等式

教学目标

1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

基础知识讲解

a＋b1．基本不等式ab≤2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；

ba(2)a＋b≥2(a，b同号且不为零)；

a＋b2(a，b∈R)；

(3)ab≤222a＋b2a＋b≤(4)2(a，b∈R)．

23．算术平均数与几何平均数

a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．

q2(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是4(简记：和定积最大)．

1

预习自测

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1(1)函数y＝x＋x的最小值是2.(

) π4(2)函数f(x)＝cos x＋cos x，x∈0，2的最小值等于4.(

) xy(3)x>0，y>0是y＋x≥2的充要条件．(

) 1(4)若a>0，则a＋a2的最小值为2a.(

) 3[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(

) A．a2＋b2>2ab 112C.a＋b>

abB．a＋b≥2ab

baD.a＋b≥2 D

[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．

ba对于D，∵ab>0，∴a＋b≥2baa·b＝2.] b4a3．(2016·安徽合肥二模)若a，b都是正数，则1＋a1＋b的最小值为(

) A．7

C．9

B.8 D.10 b4aa·b＝9，当且b4ab4aC

[∵a，b都是正数，∴1＋a1＋b＝5＋a＋b≥5＋2仅当b＝2a>0时取等号，故选C.] 4．若函数f(x)＝x＋1(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(

)

x－2【导学号：01772209】

A．1＋2

C．3

B.1＋3 D.4 1x－2×＋2＝4，x－21C

[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2x－2

2

当且仅当x－2＝即a＝3，选C.] 1(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，x－25．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2. 25

[设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，

1则另一边为2×(20－2x)＝(10－x)m，

x＋10－x2＝25，

则y＝x(10－x)≤2当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]

利用基本不等式求最值

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(1)(2015·湖南高考)若实数a，b满足a＋b＝ab，则ab的最小值为

(

) A.2

C．22

B.2 D.4 (2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．

1212(1)C

(2)3

[(1)由a＋b＝ab知a>0，b>0，所以ab＝a＋b≥2ab≥22，

12a＝b，当且仅当12a＋b＝值为22. 3－x231313x3(2)由x＋2xy－3＝0得y＝2x＝2x－2x，则2x＋y＝2x＋2x－2x＝2＋2x22ab，即ab，

44即a＝2，b＝22时取“＝”，所以ab的最小≥23x32·2x＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.] [规律方法]

1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．

3

2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．

[变式训练1]

(1)(2016·湖北七市4月联考)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，21若不等式a＋b≥m恒成立，则m的最大值等于(

) A．10

C．8

B.9 D.7 1(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则m＋1n的最大值为__________．

2122a＋b2a＋b2b2abaa＋b(1)B

(2)－4

[(1)∵a＋b＝＋＝4＋＋＋1＝5＋2abab≥5＋2×2ba121×＝9，当且仅当a＝b＝时取等号．又ab3a＋b≥m，∴m≤9，即m的最大值等于9，故选B. (2)∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，

1111∴＋＝－(m＋n)m＋n

mnnm

＝－2＋m＋n≤－2－2nmm·n＝－4，

111当且仅当m＝n＝－2时，m＋n取得最大值－4.]

利用基本不等式证明不等式

已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

111(1)＋＋≥8；

abab11(2)1＋a1＋b≥9. 11111[证明]

(1)a＋b＋ab＝2a＋b，

∵a＋b＝1，a>0，b>0，

11a＋ba＋bab∴a＋b＝a＋b＝2＋b＋a≥2＋2＝4，3分

4

1111∴a＋b＋ab≥8(当且仅当a＝b＝2时等号成立).5分

(2)法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，

a＋b1b1a∴1＋a＝1＋a＝2＋a，同理1＋b＝2＋b，

11ba∴1＋a1＋b＝2＋a2＋b

ba＝5＋2a＋b≥5＋4＝9，10分

111∴1＋a1＋b≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立).12分

2111111＋1＋法二：ab＝1＋a＋b＋ab，

111由(1)知，a＋b＋ab≥8，10分

11111故1＋a1＋b＝1＋a＋b＋ab≥9.12分

[规律方法]

1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．

2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．

11[变式训练2]

设a，b均为正实数，求证：a2＋b2＋ab≥22.

[证明]

由于a，b均为正实数，

11所以a2＋b2≥2112a2·b2＝ab，3分

11当且仅当a2＝b2，即a＝b时等号成立，

2又因为ab＋ab≥22ab＝22，

ab·2当且仅当ab＝ab时等号成立，

112所以a2＋b2＋ab≥ab＋ab≥22，8分

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11a2＝b2，当且仅当2ab＝ab，

4即a＝b＝2时取等号.12分

基本不等式的实际应用

运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗x2油2＋360升，司机的工资是每小时14元．

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

130[解]

(1)设所用时间为t＝x(h)，

x2130130y＝x×2×2＋360＋14×x，x∈[50,100].2分

所以这次行车总费用y关于x的表达式是

y＝130×182×130＋360x，x∈[50，100]. x2 34013(或y＝x＋18x，x∈[50，100]).5分

(2)y＝130×182×130＋360x≥26 10，

x130×182×130当且仅当＝360x，

x即x＝1810，等号成立.8分

故当x＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.12分

[规律方法]

1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．

3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

[变式训练3]

某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设

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备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．

(1)用x表示y；

(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．

[解]

(1)由题意得，

y＝100＋0.5x＋2＋4＋6＋…＋2x，

x100即y＝x＋x＋1.5(x∈N*).5分

(2)由基本不等式得：

100y＝x＋x＋1.5≥2100x·x＋1.5＝21.5，8分

100当且仅当x＝x，即x＝10时取等号．

故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.12分

[思想与方法] 1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．

2．基本不等式的两个变形：

a2＋b2a＋b2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．

(1)2≥2(2)a2＋b2a＋b2≥≥ab≥2211(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．

a＋b课后反思与学生需要注意的

1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．

2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条

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件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．

3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．

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