复习参考题课件配套优秀

1

随机变量及其分布列章末复习

课程类型：复习课

教师：冉春

本章主要内容：

1.离散型随机变量的定义；

2.期望与方差；

3.二项分布与超几何分布. 本章教学目标：

1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)

2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)

3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)

【知识与方法】

一．离散型随机变量的定义

1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．

①随机变量是一种对应关系；

②实验结果必须与数字对应；

③数字会随着实验结果的变化而变化. 2.表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．

3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量

( discrete random variable ) . 4.连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间或某几个区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量

5.注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，0，

表示正面向上，1，表示反面向上

（2）若是随机变量，ab,a,b是常数，则也是随机变量

离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

二．离散型随机变量的分布列

1.一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn, X取每一个值xi(i=1,2，…，n)的概率P(X=xi)=pi，则称表：

X P

x1

p1

x2

p2

…

…

xi

pi

…

…

xn

pn

2

为离散型随机变量X的概率分布列，

简称为X的分布列．

用等式可表示为P(X=xi)=pi，i=1,2，…，n, 也可以用图象来表示X的分布列．

2.离散型随机变量的分布列的性质

①pi≥0，i=1,2，…，n；②npi1i1．

分布列的优缺点：[优点]离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，

而且也能看出取每一个值的概率的大小，

从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况．

[缺点]（1）分布列不能表示X的平均水平；(2)分布列不能表示X的波动程度．

三．两个特殊分布

1.两点分布X~B(1,P)

X P 0

1-p 1 p

若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率．

注意：随机变量X只有发生和不发生两种情况才叫两点分布，且X的取值只能是0和1.

2.超几何分布X~H(N,M,n)

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=m，其中m=minM,n，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. X P 0

0n0CMCNMnCNknkCMCNMnCN，k=0,1,2，…，1

1n1CMCNMnCN…

…

m

mnmCMCNMnCN

如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．

四．条件概率

1．条件概率的概念

一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(BA)生的条件概率．P(BA)读作A发生的条件下B发生的概率．

2．条件概率的性质

(1)P(BA)P(AB)n(AB)；

P(A)n(A)P(AB)为在事件A发生的条件下，事件B发P(A)(2)0P(BA)1，当A事件与B事件对立时P(BA)0，当A事件与B事件相等时P(BA)1；

(3)如果B与C是两个互斥事件，则P(BCA)P(BA)P(CA)；

(4)P(AB)P(BA)P(A)P(AB)P(B)；

(5)要注意P(BA)与P(AB)的区别，这是分清条件概率与一般概率问题的关键.在P(BA)中，事件A成为样本空间，在P(AB)中，样本空间则为全体情况.

五．相互独立实验

3

1．相互独立事件的定义和性质

(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立．

(2)如果A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．

(3)如果A与B相互独立，那么P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A)．

2．相互独立事件与互斥事件的区别

互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，二者不能混淆．

3．n个事件相互独立

对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．

4．独立事件的概率公式

(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)×P(B)；

(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)=P(A1)×P(A2)×…×P(An)．

六．二项分布

1．n次独立重复试验

一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．

2．二项分布

一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，knk则P(X=k)=Ck，k=0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成np(1－p)－功概率．

七．离散型随机变量的均值

1.定义：若离散型随机变量X的分布列为：

X P x1

p1

x2

p2

…

…

xi

pi

…

…

xn

pn

则称E(X)=x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．

2.意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

3.性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y=aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y=axi＋b)=P(X=xi)，i=1,2,3，…，n.E(Y)=E(aX＋b)=aE(X)＋b. 八．离散型随机变量的方差

1.定义：设离散型随机变量X的分布列为

X P 2x1

p1

x2

p2

…

…

xi

pi

…

…

xn

pn

则(xi－E(X))描述了xi(i=1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)=(xE(X))ii1n2Pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差．

2.意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．

3.性质：设a，b为常数，则D(aX＋b)=a2D(X)．

九．常见的两种分布的均值与方差

4

设p为一次试验中成功的概率，则

(1)两点分布E(X)=p，D(X)=p(1－p)；

(2)二项分布E(X)=np，D(X)=np(1－p).

【例题与变式】

题型一

例1.(08北京理)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；

（Ⅲ）设随机变量X为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列．

教师讲解：解：(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件EA，

A313那么P(EA)==,24C5A440

(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，

那么P(E)=910

AC2544A44=110

P(E)=1-P(E)=【变式训练1】(2016·天津卷节选)某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列. 注：由学生自主完成，教师再加以点拨。

题型二

例2：(2008年四川理)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。

（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅲ）记X表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求X的分布列及期望。

教师讲解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，

记B表示事件:进入商场的1位顾客购买乙种商品，

记C表示事件:进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，

记D表示事件:进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种

（Ⅰ）

CABAB

5

PCPPABAB

ABPAB

PAPBPAPB0.5

（Ⅱ）DAB



0.50.40.50.6

PDPAB

PAPB0.50.4



0.2

XB3,0.8,

PX00.230.0081PX1C30.80.220.096PX2C320.820.20.384

PX30.80.5123

EX30.82.4

【变式训练2】

(2008年湖南理)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是0.5，且面试是否合格互不影响.求：

（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数X的分布列和数学期望. 注：由学生自主完成，教师再加以点拨。

6

题型三

例3：现在有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：

（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；

（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；

（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第二次抽到舞蹈节目的概率

教师讲解：

（1）由题意可得，节目总数6个，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，

第1次抽到舞蹈节目的概率为4/6=2/3 （2）由于节目总数6个，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，

故第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率4/6✖3/5=2/5

（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，这是还有5个节目，其中3个为舞蹈节目，2个为语言类节目，故第二次抽到舞蹈节目的概率为

3

5

．变式练习3 学生独立完成，教师再进行针对性点拨

(2007年山东理)设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量X表示方程x2+bx+c=0实根的个数(重根按一个计)．

(Ⅰ)求方程有实根的概率；

(Ⅱ)求X的分布列和数学期望；

(Ⅲ)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率．

三、练习与反馈

11.已知X～B(6,)，则P(X=2)等于(

) 3341380A.

B.

C.

D.

16243243243312.某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ=3)=(

) 442123A．C3()

442321B．C3()

4413C.()2

4431D.()2

44123.已知P(B|A)=，P(A)=，则P(AB)等于(

) 355921A.

B.

C.

D.

6101515

7

4.明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.

5.一名学生骑自行车去上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是1相互独立的，并且概率都是.设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列．

36.在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：

(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；

(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值.

7.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X. (1)求X的分布列；

(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；

(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？