3.1.2 复数的几何意义优秀公开课教案

3.1.2复数的几何意义

教学设计

1、知识目标：理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数代数式加法、教学

减法运算的几何意义。

目标

2、能力目标：渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力。

3、情感目标：引导学生观察现象，发现问题，提出观点，验证结论，培养良好的学习思维品质。

教学

复数的几何意义

重点

教学

复数与向量的关系；复数模的几何意义；复数减法的几何意义。

难点

教学

问题启发

方法

教学进程

一、问题情景

问题1：对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈R)，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？

（a=c且b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等。）

问题2：若把a,b看成有序实数对（a,b），则（a,b）与复数a+bi是怎样的对应关系？有序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系）

实数可以用数轴上的点来表示

实数 一一对应 实数轴上的点

（几何模型）

数

形

问题3：类比实数的性质，你能否找到用来表示复数的几何模型？还能得出复数其他的一些性质吗？

（学生猜测，讨论，形成一些共识）

二、建构数学

1、复平面的概念

把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示虚数。

y bZ=a+bi Z(a,b)

回忆旧知，吸引学生的注意力；揭示确定一个复数的条件，为新课的传授作必要的铺垫。

以学生熟悉的知识为载体，采用类比的方法，引导学生对比、思考、愤悱，调动他们的积极性和主动性，活跃课堂气氛，拓展思维宽度，从而使新课更加顺理成章的展开。

设计意图

教

学

过

程

oax

面向全体学生（属基本Z(a,b) 题型），巩固概

念，体会数形3

结合思想，重2 C

视一题多变，

较全面地理解B A

复数、复平面内的点、始点x

-2 1

2

3

为原点的向量三者的关系。

2、复数的几何意义

复数a+bi，即点Z（a,b）（复数的几何形式）、即向量OZ（复数的向量形式。

以O为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。）

三者的关系如下：

复数

阐明复数zabi

与实数的联系

和区别，实数

能比较大小，

虚数不能比较

大小，是实数复平面

平面向量

的复数能比较内的点

OZ

大小，能比较Z（a,b）

大小的复数只[巩固练习] 能是实数。复（1）、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：

数可看作是向4，2+i，-1+3i，3-2i，-i （2）、“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。 量OZ，向量 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件

不能比较大 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

小，但向量的（3）、复平面内，表示一对共轭复数的两个点具有怎样的位置关系？

模可以比较大变式：第二象限的点表示的复数有何特征？

小，从而引出问题4：实数可以比较大小，任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请复数的模（或拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。

绝对值）。

（学生讨论，回答，纠正错误，形成共识）

3、复数的模（或绝对值）

向量OZ的模叫做复数Z=a+bi的模（或绝对值），记作Z或abi。如果b=0，通过知识的分层练习，那么Z=a+bi就是实数a，它的模等于a（即实数a的绝对值）。

使学生明确复数的模（或绝对值），即点ZZ=abi=a2b2

到复平面原点[巩固练习] 的距离，会求（1）、已知复数Z1=3+4i，Z2=-1+5i，试比较它们模的大小。

复数的模。

（2）、若复数Z=3a-4ai(a<0)，则其模长为 。

y

拓展与延伸：

（3）满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？

（3）（4）中利用计算机动画，体会数形结合思想，加（4）设Z∈C，满足2

深数与形的相问题5：既然复数可以用复平面内过原点的向量来表示，那么，复数的加法、互转化。

减法有什么几何意义呢？它能像向量加法、减法一样，用作图的方法得到吗？

y

Z

培养学生的类

比猜想能力，Z2

逐步形成“观

察——类比—Z1

—猜想——质x

疑——验证—O

—应用”获取

知识的手段和

方法，提高学

生分析问题、（学生讨论，动手实践，回答；后用计算机作图并用平面几何理论证明）

解决问题的能4、复数加法、减法的几何意义

力。

设向量OZ1，OZ2分别与复数a+bi，c+di对应，且OZ1，OZ2不共线，以

OZ1，OZ2为两条邻边画平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ所表示的向量OZ

就是复数（a+c）+(b+d)i对应的向量。（平行四边形法则）

例1训练根据复数减法的定义和复数加法的几何意义，可以得到复数减法的几何意义。学生对复数几（三角形法则，过O作与其相等的向量）

何意义的运

用，渗透数形y

转化思想，培

养学生严谨的Z2

思维品质，有

利于学生对复Z1

数几何意义的

理解。

0 x

Z

设Z1=a+bi，Z2=c+di，则Z1-Z2=（a-c）+（b-d）i

22故Z1Z2Z2Z1(ac)(bd)

表明：两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点之间的距离。

三、数学应用

例1 已知复数z=(m2m6)(m2m2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 变式：证明对一切实数m，此复数z所对应的点不可能位于第四象限

（解不等式组；解不等式组无解）

相互转化

表示复数的点所在象限的问题 数的实部与虚部所满足的不等式组的问题

(几何问题) （代数问题）

数学思想：数形结合、转化思想

例2 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么？

（1）|z-1-i|=|z+2+i| （2）|z+i|+|z-i|=4 （3）|z+2|-|z-2|=1 延伸：若将（2）中的等于改为小于呢？

（轨迹分别是直线；椭圆；双曲线）

（备用题：）

已知，复数Z1=3+4i，复数Z满足ZZ12，求Z的最值。

（代数方法；几何方法）

四、回顾反思

1、请同学们依据板书顺序回顾课堂全程内容。

2、请同学们谈谈对复数几何意义的认识。

3、重现复数加法、减法的几何意义的内容。

4、体会数形结合思想，加强复数与其它数学内容的联系。

五、作业（略）

在理解复数有关几何意义的基础上，将复数几何意义应用推广到用复数研究解析几何某些曲线等问题，使学生进一步体会复数减法几何意义的重要性，认识到复数与其它数学内容之间的联系。

根据课堂学生的反应，控制上课节奏；来不及讲的话，可将它作为课后思考题；重视一题多解，一题多变，感受数形结合的美妙。

回顾、反思打破了原有回顾知识的格局，主要安排体现三部分，即知识梳理、技巧与警示、重要的数学思想方法，为学生的后续学习奠定基础提高他们的认识水平。