探究与发现 组合数的两个性质教学评价实录

组合数的两个性质

本节课教学目的：

1.

加深熟悉组合数的计算公式；

2.

掌握组合数的两个性质。

3.

能够运用组合数的两个性质进行解决相应的组合数证明题及运用组合数性质解相应组合数方程。

本节课教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。

本节课教学难点：组合数性质的应用。

教学过程：

一、复习回顾：

1．复习组合数公式nn－1n－2…n－m＋1AmnmCn＝m＝

Amm！

2．练习利用组合数公式计算：

3232335343①

C8和C8；

②C7和C7；③C6与C7

④C9

C6C9和C10二、新授内容：

35341．小组探究上面练习结果：①

C8＝C8；

②C7＝C7；发现什么规律？

mnm2.导出新课组合数性质1：Cn．

Cn理解：

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n



m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n



m个元素的每一个组合一一对应，所以．．．．从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n



m个元素的组合mnm数，即：Cn．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．

Cnmnm3.证明组合数性质1：Cn

Cnnm证明：∵Cnn!n!

(nm)![n(nm)]!m!(nm)!n!

m!(nm)!m

又

Cn

∴CnCnmnm

0注：1

我们规定

Cn1

2

等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．

3

此性质作用：当m5例1．计算：C8＋C98C7100·7. nmnm时，计算Cn可变为计算Cn，能够使运算简化．

28×7×6100×992解：原式＝C3＋C×1＝＋＝56＋4 950＝5 006.

81003×2×12×1

x22x4例2.已知C12，则x的值是(

) C121A．2

B．6

C.

D．2或6 2n解析：选D

根据组合数性质Cmn＝Cnp若Cmn＝Cn，则{0≤m≤n，－m可得

≤p≤n，m＝p或m＋p＝n，

根据题意得

{0≤x－2≤12，解得x＝2或x＝6. ≤2x－4≤12，x－2＝2x－4或x－2＋2x－4＝12.

3232334．小组探究上面练习结果：③C6＝C7

④C9发现什么规律？

C6C9=C10mmm15．导出新课组合数性质2：Cn．

1＝Cn+Cnmmm1

6．证明组合数性质2：Cn＝+

CCn1nmm1证明：

CnCnn!n!

m!(nm)!(m1)![n(m1)]!

n!(nm1)n!m

m!(nm1)!

(nm1m)n!

m!(nm1)!

(n1)!

m!(nm1)!m

Cn1

mmm1

∴

Cn．

1＝Cn+Cn

注：1

公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．

2

此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．

48例3．计算：C50＋C4950＝____________. 48492解：C50＋C4950＝C51＝C51＝51×50＝1 275. 2×1答案：1 275 78例4．已知C7n＋1－Cn＝Cn，则n等于(

) A．14

C．13

B．12 D．15 78解析：选A

∵Cn＋1＝Cn＋1，∴7＋8＝n＋1，∴n＝14. 6．组合数性质运用解决组合证明题

nnn1n2例5.求证：Cm2＝Cm+2Cm+Cm

nn1n1n2证明：右边＝CmCmCmCmnn1＝Cm1Cm1n＝Cm2

＝右边原等式成立7．组合数性质运用解决组合方程

例6.解方程：Cx2Cx2

x2x313Ax3

105Ax(x3)(x2)(x1)x(x1)35

A554321解：Cx2x2Cx3x2Cx2x3Cx3(x2)x3C5x3而

131(x3)(x2)(x1)Ax31010321

(x3)(x2)(x1)x(x1)1(x3)(x2)(x1)5432110321x(x1)1

5410x(x1)2x2或x18.课堂练习

3456（1）计算：C7

C7C8C9x12x3（2）

解方程：C13

C13012345（3）计算：C4C4C4C4C4和C5

C5C5C5C5C5kkkkkk1

（4）证明：Cn1Cn2Cn3Ck1CkCn

01234三、课外作业：

四、小结：

1．组合数的两个性质：

性质1：CnCnmnm

mmm1

组合数性质2：Cn1＝Cn+Cn

2．从特殊到一般的归纳思想．

3.运用组合数性质解决证明题和解方程。