探究与发现 组合数的两个性质教案及板书设计

教学设计

学校名称

四川省广安友谊中学

探究与发现-------组合数的两个性质

高中数学

选修2-3

1.2.2组合课后阅读材料，探究与发现

课例名称

教师姓名

余洪

学段学科

教材版本

人教A版

章节

年级

高二

《探究与发现-------组合数的两个性质》是人教A版选修2-3 1.2.2组合课后阅读材料，探究与发现的内容。教学只需一课时，通过性质的学习，一方面可以加强教材分析

组合数公式的计算、变形能力，简化组合数式子的计算，掌握用构造实际背景的方法证明组合等式.另一方面也可以为以后学习《二项式定理》和《杨辉三角》等内容打好基础.故组合数性质是一个承上启下的内容。

（1）知识技能目标————理解并掌握组合数的两个性质，掌握性质的探求过程和证明方法，会应用性质简化组合式子的运算和进行简单证明。

（2）过程与方法目标————本课采用问题导向法，通过对中美贸易战中征收关税和抽背唐诗这两个生活中的组合问题的思考，引导学生在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，建立模型（组合式子），运用数学抽象和逻辑推理，从特殊到一般，从简单到复杂探究出组合数的两个性质然后用这两个性质解决实际问题。还原了人类

对知识的探求过程，从特殊（实际问题）到一般（理论成果）再到特殊（指导实践）的过程。向学生渗透类比与转化思想、从特殊到一般的归纳思想、取法与剩法的一一对应思想、含与不含的分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和语言表达能力．体现的学科核心素养为“数学抽象”，“逻辑推理”，

“数学建模”，“数学运算”和“数据分析”能力。

（3）情感，态度与价值观————两个引例一个是时事热点问题，一个是传统文化问题，可激发学生关心祖国命运，热爱祖国传统文化增强爱国主义热情。两个性质的探究和发现过程，体现了从特殊到一般，从简单到复杂的科学研究精神。用计算机大数据对性质1的验证，培养了学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验，进一步激发学生的学习热情和求知欲，用探究出的两个性质对两个引例问题的解决让学生认识到数学是有用的，生活中处处有数学！

教学重点：两个性质的探求过程和证明方法。应用两个性质进行计算和化简。

教学难点：类比性质1的证明构造实际背景证明性质2。应用性质2进行计算和化简。

教学目标

教学重难点

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学情分析

（1）学生已有的知识结构：学生已在前面几节学习了两个计数原理，排列组合的定义和排列数，组合数公式并会直接用公式进行简单计算和证明简单的组合等式。

（2）教学对象：高二理科实验班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维和数学运算能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄和经验的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。

培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此，本节课采用了问题导向法，启发式和探究式相结合的教学方法，本课始终以学生为中心，教师为主导，使学生能够愉快地主动学习，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法，比较论证后得到一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得公式和方法去解决问题。本节课全程使用多媒体一体机，电子白版，交互式授课软件希沃授课助手，对性质1的猜想应用计算机，大数据进行验证，展示公式的探究与发现过程，激发学生探求问题的兴趣，增加师生互动，提高课堂效率。

教学方法

教学过程

（一）、情景引入

问题1 目前，中美贸易战正在边打边谈，面对美国提高中国商品关税的威胁，中国政府的态度是中国不想打、不愿打，但也绝不怕打。如果有人打到家门口，我们必然会奉陪到底。坚决作出反制，我国商务部门决定对原产于美国的包含大豆在内的100种农产品中的

97种增加关税，请问有多少种征税方案？（学生集体回答）C100=？

问题2：小明今天会背3首唐诗，从明天开始的27天内，爸爸要求小明每天新背1首唐诗，每天晚上爸爸抽查小明背3首唐诗，请问从明天开始的27天内爸爸总共有多少种抽查方案？

（不考虑小明背唐诗的顺序）（请一位学生回答）

333C+C+C456抽背3+C30=?

97[设计意图：通过多媒体展示两个现实生活中的问题情境，刚好对应组合数的两个性质的主要应用，问题1以中美贸易战这一热点问题为背景材料有利于引起学生的学习兴趣，激发学生关注时事热点问题，问题2以中国传统文化的瑰宝唐诗为背景材料，激发学生重视我国的传统文化，及其背后蕴涵的数学知识。这两个组合式子在计算上的困难也有利于激发学生探求组合数的两第

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教学过程

个性质的迫切性。]

（二）、性质1的探究

1.请同学们计算下列组合数的值

12131423C3;C3C4;C4C5;C5C5;C5

（学生计算后教师请一位学生回答计算结果有什么规律？）

生：学生回答了等量关系并发现两个组合数下标相等，如果上标之和等于下标时它们相等。

【设计意图】让学生从特殊的计算中用归纳推理的方法猜想出一般的结论。

2.（教师介绍用大数据验证猜想并展示。）

介绍COMBIN函数。COMBIN函数是计算从给定数目的对象集合中提取若干对象的组合数。利用函数COMBIN函数可以确定一组对象所有可能的组合数。

通过播放视频进行大数据验证C100=C100m100m,C10001000m=C1000. m【设计意图】让学生体会用计算机，人工智能，大数据在现代数学研究，和科学研究中的巨大作用，增强学生数据分析和处理能力。同时也进一步验证了自己的猜想。

3.（教师用多媒体展示下图动画。）

教师阐述：选3人参加活动的组合数和剩下5人不参加活动的组合数是一一对应的。

事实上，从100个元素中取出m个元素后，还剩下100-m个元素．就是说，从100个元素中每次取出m个元素的一个组合，与剩下的（100－m）个元素的组合是一一对应的．

因此，从100个元素中取出m个元素的组合数，与从这100个元素中取出（100－m）个元素的组合数是相等的，即C100m100mC100

【设计意图】通过动画展示，逐步递进的类比推理让学生认识到取法与剩法一，一对应的思想。

4.性质1的发现和证明

请一位学生猜想一般情况CnmnmCn?并请它类比证明

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n－m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的（n－m）个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n－m个元素的组合数，即CnmnmCn

教师展示从组合数公式方面去证明

证明：根据组合数的公式有

Cnnmn!n!mnmCnm CnCn

(nm)![n(nm)]!(nm)!m!mnmCn

性质1：Cn说明：1、为简化计算,当m>nmnm时,通常将Cn计算改为计算Cn

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教学过程

例如:C9＝C9＝729836

2!x2、CnCnyxy或xyn

【设计意图】引导学生通过合情推理猜想出一般结论并构造实际背景进行证明，体会组合等式的两边是对同一问题的两个等价解释。进一步体会取法与剩法一一对应的思想。

5.练习1：

（1）计算：C100=

（2）已知：C25（3）已知：Ct2xx+7=C25，求x

t=Ct4,求C20

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14（学生算完后请一位学生回答计算结果并说明自己的算法，教师用希沃授课软件同步展示学生计算过程交互式点评）

【设计意图】设计三个小练习，进一步巩固学生对性质1的理解，有利于提高学生的运算求解能力

，让学生讲自己的算法过程，可以让学生对性质的理解更加深刻，同时第（1）个计算也解决了情境1中的征税问题。

（三）、性质2的探究

探究引入

例1：目前，中美贸易战正在边打边谈，面对美国提高中国商品关税的威胁，中国政府的态度是中国不想打、不愿打，但也绝不怕打。如果有人打到家门口，我们必然会奉陪到底，坚决作出反制。我国商务部门决定对原产于美国的包含平板电脑在内的8种电子产品中的6种增加关税。

(1)请问有多少种征税方案？

(2)含有平板电脑的征税方案有多少种？

(3)不含平板电脑的征税方案有多少种？

8728

217652（2）C7C721

2162解：（1）C8C861（3）C7C77

从上面我们发现：C8656C7C7

师：你能对上面的等式作出解释吗？

【设计意图】再一次以中美贸易战这一热点问题为背景材料，让学生动手计算，计算过程巩固了性质1，合作交流探究，发现性质2.培养了学生合作交流能力和集体主义观念，有利于培养学生数学抽象，逻辑推理，数学建模，和数据分析能力。

7.发现证明

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教学过程

实际上，对原产于美国的包含平板电脑在内的8种电子产品中的6种增加关税，可以分为两类：

一类含有平板电脑，一类不含平板电脑．因此根据分类计数原理，上面的等式成立．

猜想：Cn1mmm1CnCn

? 一般地，从 a1,a2,a3些组合分为两类：

,an1这n1个不同的元素中取出m个元素的组合数为Cnm1 ,这m1m (1)含有a1 的组合数Cn

(2) 不含a1 的组合数Cn

根据分类加法计数原理得上面的结论。

mmm-1性质2 Cn

+1=Cn+Cn

证明:根据组合数公式有

n!n!mm1CnCnm!(nm)!(m1)![n(m1)]!

n!(nm1)n!mm!(nm1)!(nm1m)n!m!(n1m)!(n1)!m![(n1)m]!Cn1m得证

【设计意图】让学生类比性质1的探究方法猜想出性质2并证明，重点让学生体会组合等式的两边是对同一组合问题的两种不同的计数方案。体会含与不含的分类思想，构造实际背景解决组合等式问题的方法。对于用组合数公式证明的方法在前面讲排列组合数公式时学生也掌握在这里只作展示。并提示学生注意性质2的组合等式形式。

8.学以致用

练习2：(1)化简（用Cnm形式表示）C99109变式一：C2019C2018

＿

9089变式二：C100-C99＿

9089+C99=＿

7变式三：Cm- C8m0

mCn

（学生算完后请一位学生回答计算结果并说明自己的算法，教师用希沃授课软件同步展示学生计算过程交互式点评）

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教学过程

【设计意图】设计（1）组练习主要是让学生熟悉性质2等式的顺，逆变形应用，设计（2）组练习与性质1综合考察，是学生易错题。

例2：计算C4019C5C62C13

；

19解：原式=C50C5C62C73C13

19=C6C62C73C139=C72C73C1389==C13C139=C14

（请学生先独立思考，后交流讨论，然后请一位同学到黑板上给其他同学讲解）

【设计意图】设计例2的目的主要是训练学生对性质2公式的逆向运算能力，为情境2唐诗问题的解决作铺垫。同时也培养学生独立思考，合作交流，和口头表达能力。特别是到黑板上给其他同学讲解的同学更能锻炼自己的综合能力。

9.情景回归

问题2：小明今天会背3首唐诗，从明天开始的27天内，爸爸要求小明每天新背1首唐诗，每天晚上爸爸抽查小明背3首唐诗，请问从明天开始的27天内爸爸总共有多少种抽查方案？（不考虑小明背唐诗的顺序）

33C3CC4564解：C31-13C30

31302928-1=314644321

（请学生先独立思考，然后请一位同学到黑板上给其他同学讲解）

【设计意图】有以上例2的解决作铺垫，大多数学生会类比例2的方法，情境2唐诗问题的解决就顺理成章了。回归情境的解决，让同学对探究过程有一种完美的收获的快感。同时再次给上台讲解的同学一个自我展示的机会，对其他同学也起到了示范引领作用。

10.探究发现

问题3：小明今天会背3首唐诗，从明天开始的27天内，爸爸要求小明每天新背1首唐诗，每天晚上爸爸抽查小明背3首唐诗，请问从明天开始的27天内爸爸总共有多少种抽查方案？（小明背唐诗的顺序不同看成不同的抽查方案）

（请学生先独立思考，然后请一位同学回答）

333A4A5A63A30

33C30）A3

33解：原式=（C34C5C6【设计意图】此探究题在情境2唐诗问题的基础上进一步递进，把不考虑顺序变为考虑顺序，引发学生进一步思考，建立排列数和组合数之间的联系，通过化归，转化的思想把排列问题化为组合问题，从而转化为情境2唐诗问题来解决。

（四）、课堂小结

（请同学们主动起来谈自己的收获，师生平等交流，补充点评。）

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1、组合数的两个性质

（1）Cn+1=Cn+Cn

（2）

mmm-1mnmCnCn

2、数学思想：

⑴从特殊到一般的归纳思想．

⑵取法与剩法的一一对应的思想. (3)含与不含其元素的分类思想

【设计意图】对本节课的知识方法作一个小结，通过师生平等对话交流既巩固了本节所学内容，使课堂效率最大化，也增进了同学之间，师生之间的交流，既有知识的对话，也有思想的碰撞。

（五）、课后作业

（1）必做题：①教材27页习题1.2 A组2题，28页B组

5题。

3455CCCC789;

②.化简：7222222CCC…+C+C+C;

456171819③计算：（2）选做题：

021222n22n12n2n(C)(C)(C)…+(C)(C)(C)Cnnnnnn2n;

①证明

②请同学们上网查一下组合数的其它性质，并把你查到的知识与方法写一篇数学小作文与其他同学交流分享。

[设计意图：通过作业设置，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，利用网络进行学习也是当今社会每个人必备的能力，从而激起学生饱满的学习热情，巩固所学知识，体现了新课标中“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的理念。]

（六）、板书设计

探究与发现——

组合数的两个性质

97C100思考1：=？

多媒体一体机

例2：19计算C40C5C62C13

；思考2：33C34C5C63C30?

问题2：

33抽背C34C5C63C30?

性质1：

性质2：

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