3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义优秀获奖教案

复数的基本概念及其运算

一、目标要求：

(1) 复数的概念的发展和有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数）；复数的代数表示与向量表示。

(2) 掌握复数的表示方法。

（3掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算（复数代数形式的加法与减法，乘法与除法）

二、思想方法

(1)化归思想—将复数问题实数化。

(2)方程思想—利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。

三、教学进程

1。引人:实数的局限性，比如说：在实数范围内-2没有平方根，那么-2真的没有平方根吗？

2．复数的有关概念和性质：

(1)i称为虚数单位，规定i1，形如a+bi的数称为复数，其中a，b∈R．

(2)复数的分类(下面的a，b均为实数) 2

(3)复数的相等设复数z1a1b1i,z2a2b2i(a1,b1,a2,b2R)，那么z1z2的充要条件是：a1b1且a2b2．

(4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b∈R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的．

复数z=a+bia,bR．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b)

向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．

(6)复数与实数不同处: ①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．

②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．

3．复数的代数运算

（1）i4n=1，i4n1=i，in24n2=1，i4n3=i；

nn1（2）i· inn1· i·in3=1， i＋i＋in2＋in3=0；

；

5z1abi，z2cdia，b，c，dR，z1z2acbdi； z1z2acbdbcadi；特别，若zabia，bR，则

zzza2b2；z1abiabicdiacbdbcadiz20z2cdicdicdic2d2c2d2四、典型例题分析

2

①实数？②虚数？③纯虚数？

④在复平面上对应的点第三象限?

①复数z是实数的充要条件是：

∴当m＝2时复数z为实数．

②复数z是虚数的充要条件：

∴当m≠3且m≠2时复数z为虚数

③复数z是纯虚数的充要条件是：

∴

当m＝1时复数z为纯虚数．

【说明】

要注意复数z实部的定义域是m≠3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件．

要特别注意复数z＝a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．

例2 (1).若xR，x3iR，则x__________

27i

(2).复数a+bi与c+di（a，b，c，dR）的积是纯虚数的充要条件是（ ）

A．

acbd0 Ｂ．adbc0

Ｃ．acbd0且adbc0

Ｄ．acbd0且adbc0

（3）已知zm333i，其中mC，且 求m的对应点的轨迹.

21i（31i）例3.设复数z，若z2azb1i,求实数a，b的值. m3为纯虚数

m32i

例4:计算: 23i123i2i1521i

299922 (2 )1+i+3i+…+1000i

【说明】

计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性，

(2 ) 法 1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+…+(997+998i9991000i) =250(22i)=500500i 法2：设 S＝1+2i+3i+…+1000i∴(1i)S＝1+i+i+…+i29992999，则iS＝i+2i+3i+…+999i23999+1000i1000，

1000i1000

【说明】

充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法．

例5

（2004上海市普通高校春季高考数学试卷18）

已知实数p满足不等式明. x10，【解】由2解得2x1，2p1. 方程z22z5p20的判别式4(p24). 2x222x10，试判断方程z22z5p20有无实根，并给出证x2，12p1p24，0，由此得方程z22z5p20无实根. 24

课后训练

1、下列说法正确的是

( ) A．0i是纯虚数 B．原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点

C．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数 D．i是虚数

2、下列命题中，假命题是

( )

A．两个复数不可以比较大小 B．两个实数可以比较大小

C．两个虚数不可以比较大小 D．一虚数和一实数不可以比较大小

3、复数1+i+i+…+i等于

( ) A．i

BC．2i

D．2i 4、下列命题中: (1) 两个复数不能比较大小; (2) 若z=a+bi, 则当且仅当a＝0且b≠0时,z为纯虚数; 22 (3) (z1-z2)+(z2-z3)=0 则z1=z2=z3; (4)x+yi=1+ixy1

2102．I