2.2.2 反证法教学设计方案

2.2直接证明与间接证明—2.2.2反证法教学案例

汉口北高中 彭礼兵

1.

教学目标 1.知识与技能

（1）理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤。

（2）会用反证法证明简单的命题。

2.过程与方法

通过反证法的学习，体会直接证明与间接证明之间的辩证关系. 3.情感、态度与价值观

培养学生独立思考、积极探索的学习态度，认识数学的科学价值。

2.

教学重点/难点 重点：反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤。

难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。

3.

教材分析

本课是人教A版数学选修1-2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明”第二课时的内容——反证法。

本章包括推理与证明两个部分，是在前面学过的基础上，对所学知识进行回顾与总结，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法。推理与证明贯穿于整个高中数学体系，是数学的基本思维过程。根据《课程标准》，在本章学习过程中，更加注重结合实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。

本节——反证法，是在前面介绍了直接证明（综合法、分析法）的基础上学习的，让两种不同思维形成强烈的反差，有利于学生更深刻地体会两种思维的差别及各自的特点。逆向思维是本节学习的一个难点，所以，在本节的学习中要注重让学生体会反证法的思考过程及特点，建立起使用反证法的感觉。

4.

学情分析

本节内容在初中时期已经初步接触，但是，由于最初学习的时候，知识不够系统，逆向思维的训练及发展不够充分，使得反证法成为学生学***难点。

本次授课对象为高二文科重点班，数学思维一般，其中推理论证思维稍显不足，知识不够系统，遗忘知识较多，所以，为了让学生更加轻松地理解反证法的思维过程，所选例题比较简单，逻辑清晰易懂。在后面还有一个生活趣味反证法，有利于加深学生对反证法的理解。

5.

课型：概念新授课

6.

教学时间分配：一课时

7.

教学用具 多媒体、板书

8. 教学过程 一、情景设置

王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”

二、课题引入

问题1：能否用框图的形式说明王戎论证“路旁苦李”的过程？

问题2：王戎与其他小朋友最后都知道李子是苦的，他们的方法相同吗？

三、新知探究

1、定义：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

2、步骤：①

反设：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立) ②

归谬：经过正确的推理，最后得出矛盾。

③

结论：由矛盾说明假设错误，从而证明了原命题成立。

四、重难点突破：

1、反证法中的反设

例1：写出用反证法证明下列命题时的反设：

（1）“△ABC中，若A>B,则a>b”,反设为

（2）“三角形的内角至多有一个钝角”，反设为

(3)“a,b,c中至少有一个是正数”，反设为

【小结】常见特殊反设的结论有：

2、反证法中的归谬

例2.已知a≠0,证明x的方程ax=b有且只有一个根。（见课本42页）

例3.已知a、b、c三条直线，且a//c,b//c.求证：a//b 证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A. 那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，

这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。

∴a//b. 例4.用反证法证明：在三角形ABC中，若角C是直角，则角B不是钝角。

反证法推理得出的常见主要矛盾：

（1）与已知条件矛盾

（2）与假设矛盾

（3）与数学公理、定理、公式、定义或已被证明的结论矛盾

（4）与公认的简单事实矛盾

3、反证法适用题型

结合这三个例题的特点，说说看反证法适合证明种类型的命题？

反证法一般常用于有下述特点的命题证明：

（1）

直接证明困难的

（2）

否定性命题

（3）

唯一性问题

（4）

至多、至少型命题

五、课堂小结

1、反证法定义：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

2、反证法的证明步骤：①反设②归谬③存真

3、常见的“结论词”与“反设词”如下：

4、反证法推理得出的常见主要矛盾：

（1）与已知条件矛盾

（2）与假设矛盾

（3）与数学公理、定理、公式、定义或已被证明的结论矛盾

（4）与公认的简单事实矛盾

5、反证法适用题型

（1）

直接证明困难的

（2）

否定性命题

（3）

唯一性问题

（4）

至多、至少型命题

六、疑难深思

2（2016.黄冈中学月考）若a,b,c均为实数，且ax-2y2，by22zππ2，cz2x。求证：a,b,c中至少与一个大于0. 36七、课后练习

1．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( ) A．有一个内角小于60°

B．每一个内角都小于60°

C．有一个内角大于60°

D．每一个内角都大于60°

2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。