1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学目标设计

人教A版选修1—2第一章

§1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学设计

甘肃省武威第五中学 张玉婷

【一、教学内容解析】

1.教材内容分析

统计是研究如何合理地收集、整理、分析数据的学科.它可以为人们制定决策提供依据.在生活中，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，做出合理的决策.为了体现统计学科的这一特点，在教学中需要通过案例进行教学。

本节课是人教A版（选修）1—2第一章第一节的内容，本单元内容是在学生们学习了初中统计知识以及《数学3》(必修)中的统计知识后的进一步的学习，并与本册课本前面提到的事件的独立性一节关系紧密，此外还涉及到与《数学1-1》(选修)中讲到的“反证法”类似的思想——独立性检验.利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，是高中数学知识中体现统计思想的重要课节。本节的主要内容就是两个分类变量是否有关系的推断，从生活实例出发，发现数学概念、方法与结论，体现数学来源于生活，数学又服务于生活. 本节的教学中，重点放在了独立性检验的统计学原理上，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤。通过对典型案例的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和解决问题的一般步骤。独立性检验的基本思想和反证法类似，它们都是假设结论不成立，反证法是在假设结论不成立基础上推出矛盾，从而证得结论成立，而独立性检验是在假设结论不成立基础上推出有利于结论成立的小概率事件发生，于是认为结论在很大程度上是成立的。因为小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以有利于结论成立的小概率事件的发生为否定假设提供了有力的证据。但在全部逻辑推理正确的情况下，反证法不会犯错误，但独立性检验会犯随机性错误. 独立性检验的具体的操作步骤就是：明确问题→确定犯错误概率的上界及K2的临界值k0→收集数据→整理数据→制列联表→计算统计量K2的观测值k→比较观测值k与临界值k0并给出结论.这是一种非常重要的推断方法，不仅有相当广泛的应用，也开启了人类认识世界的一种新的思维方式. 学习独立性检验的目的是“通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用”.这是因为，随着现代信息技术飞速发展，信息传播速度快，人们每天都会接触到影响我们生活的统计方面信息，所以具备一些统计知识已经成为现代人应具备的一种数学素养。

2.教学重点

理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 3.教学难点

（1）了解独立性检验的基本思想；

（2）了解随机变量K的含义. （3）独立性检验背后的理论依据. 2【二、教学目标设计】

数学教学不仅仅是知识的教学、技能的训练，更应使学生的核心素养得到提升.本节课应使学生掌握独立性检验的基本思想及解决问题的一般步骤.在学生经历以上内容的探究中，体会“反证”的数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心. 教学目标：

1、使学生理解分类变量的定义，通过二维条形图、等高图、三维柱形图等图形直观想象两个分类变量之间可能具有相关性，培养学生直观想象的能力与素养；

2、通过对典型案例的探究，使学生了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法、步骤及应用，增强学生数学抽象、建模、运算以及数据分析的能力；

【三、学情分析】

美国教育家波利亚说“教师讲什么并不重要，学生想什么比这重要一千倍。”“因材施教”就要求教师的课堂教学设计要围绕着学生的学习习惯、知识储备等现状及需求展开.同时关注学生的认知误区，避免造成学生进一步学习的隐患. 本节课是在学生理解掌握了初中数学的统计知识以及《数学3》(必修)中的统计知识，尤其是事件的独立性后继续对统计内容进行学习.在知识的逻辑联系上，学生比较容易衔接.从生活中的实例入手，层层探究，符合学生的认知规律.但独立性检验中的卡方公式及临界值的确定，基本超出目前绝大多数高中生对新知的探究能力，因此在教学上采用的是让学生个体精读思考——相互交流讨论、集中解答释疑的教学模式.通过与反证法的联系，让学生了解独立性检验的基本思想，但学生对在一次试验中小概率事件几乎不可能发生而引发的矛盾这一思想的理解可能存在一定的难度，所以在讲解中注重进行层层突破. 【四、教学策略分析】

教与学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的．《高中数学课程标准》就学生的学习活动强调：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程”。因此在教学中，应不断地教给学生治学之道，求学之法。本节课，我尝试从以下几方面指导学生学会学习：使学生善于从实际问题中抽象出数学模型，提高观察、归纳、分析的能力；引导学生自己发现问题、提出问题并予以解决，学会合作交流;使学生具有“用数学”的意识，尝试着用数学知识解决实际问题。希望使学生“学”有新“思”，“思”有新“得”，“练”有所“获”，从而形成新的学习动力。

本节课有着丰富的实际生活背景，所以教法上本着“以教师为主导，以学生为主体，以问题解决为主线，素养提升为目标”的指导思想，结合我校学生实际，主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法。通过创设问题情境，使学生对两个分类变量的关系有了一定的感性认识；通过问题探究的逐层深入，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；把学生自身作为样本进行问题的探究，激发学生兴趣、能够积极思考，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提高思维品质，把传授知识与培养能力融为了一体。主要思路为：通过“吸烟与患肺癌”是否有关系引出独立性检验的问题，并从三个层面对问题进行了探究，一、通过对抽样得到的表格数据粗略估计；二、通过图表直观判断；三、通过“更可靠”的统计分析——独立性检验.前两个层面，学生可以独立完成，但第三个层次依学生目前的知识储备，很难独立完成探究，因此采用了先独立精读教材，总结出个人的“收获”和“困惑”，再小组交流，分享“所得”互相“解惑”，再选代表谈通过精读、讨论，自己的最终收获有哪些？还有哪些“困惑”没有得到解答？最后通过老师的讲解以及跨组的解疑，突破本节的教学重、难点.突破难点的关键是抓住实例，使学生从感性认识升华到理性认识.从定性判断上升到定量判断. 【五、详细教学过程】

遵循数学教学的“过程性”和“发展性”的原则，设计如下教学环节：

问题导入

激发兴趣→初步探索

展示内涵→循序渐进、延伸拓展→

→应用感悟

思想升华→归纳总结

素养提升→作业布置

课题研究

环节一、创设情境、激发兴趣

让学生从生活中常听到的几种说法入手，并配有卡通图片，思考几种说法是否有道

理.从而引出本节课研究的事例“吸烟与患肺癌是否有关”。

（该环节设在学生的“最近发展区”内，可引发学生的积极思维．） 设计一个问题链：（1）要做这项研究首要工作是什么？（抽样）（2）抽取的样本应该包含哪些人群？（四类）（3）得到的数据如何呈现更直观？（表格）

（该环节几个问题的设置从学生已有统计知识入手，既为新知探究打下基础，完成新知探究的自然过渡，又引出本节两个概念“分类变量”以及“列联表、2×2列联表”，同时引出本节课题“独立性检验的基本思想及其初步应用”）

环节二、初步探索、展示内涵

让同学们阅读教材91页思考，学生们自行通过对数据的分析，粗略的估计出：在不吸烟的样本中，有0.54％患肺癌；在吸烟的样本中，有2.28％患肺癌.因此，直观上可以得到结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异. （该环节让学生自主完成两个分类变量是否有关的第一层次的推断，即：用频率近似概率，从数据上的粗略估算，让学生先略有成功的喜悦同时提升学生对数据的分析素养.）

回顾初中所学概率知识可知，与表格相比，图表更能直观地反映出两个分类变量间是否

相互影响。在EXCEL中输入数据，选中数据，点击工具栏中的图表按钮，根据需要马上生成等高条形图。让学生观察图表，并分析根据图表能得到怎么样的结论. （该环节让学生通过对图表的观察，自主完成两个分类变量是否有关的第二层次的推断，即：用图表直观推断得出结论，让学生再有成功的喜悦，同时提升学生直观想象、直观判断素养.）

环节三、循序渐进、延伸拓展

通过两个层面的自主探究，同学们的判断都是“吸烟和患肺癌有关”，这种判断是否可靠呢？我们有多大的把握说他们有关呢？我们说他们有关的判断犯错误的概率有多大呢？根据学情实际，学生目前的知识储备，很难独立完成探究独立性检验这一方法的自主探究，因此采用了先独立精读教材，总结出个人的“收获”和“困惑”，再小组交流，分享“所得”互相“解惑”，再选代表谈通过精读、讨论，自己的最终收获以及仍存在的“困惑”.最后通过老师的讲解以及跨组的解疑，突破本节的教学重、难点.突破难点的关键是抓住实例，使学生从感性认识升华到理性认识.从定性判断上升到定量判断. 具体过程为：让学生带着问题用3分钟时间，精读教材从P12到P13页；例1之前因为这是本节课的重点，也是难点所在，所以在每个人精读完之后，分小组讨论交流读教材的收获以及存在的疑惑，彼此学习，相互释疑.经过同学们的热烈的讨论分享后，请小组代表分享自己的收获，从而突出本节的重点，请小组代表讲出自己经讨论后仍有的困惑，预设困惑点主要集中在以下三点：（1）教材卡方给的突兀；（2）临界值是如何确定可到的；（3）在H0)0.01如何理解.前两个问题由老师回答，若有第三个成立的情况下，对式子P(K6.635困惑可有其他小组的同学进行解答，从而突破本节的难点。通过对第二个困惑的解答，同时给出其他的临界值的情况，让学生分析卡方的取值大小与下结论错误的概率的关系以及两个分层变量的关系的强弱.结合例题，卡方的取值约为56.632，大于10.828，因此可以把推断进一步加强，吸烟与患肺癌有关，这个结论会犯错，但犯错误的概率小,0.001，因此基本可以确定吸烟与患肺癌，所以烟盒上都有“吸烟有害健康”的提醒，就是警示大家崇尚健康、远离烟草。 （该环节切实根据学情设定，请学生从阅读中谈收获和困惑，提升学生的审阅理解、提炼重点以及归纳总结能力，本部分若仅让学生仿照教材例题，套用独立性检验的解题步骤，独立完成习题并不难，但独立性检验的统计原理和统计思想对学生来说是比较难理解的，因此通过小组代表“谈收获”，让同学们对独立性检验的一般步骤有了初步的认识，通过小组代表“谈困惑”及对预设的两个学生可能存在的困惑的解释，让学生对独立性检验的基本思想有初步的了解.从得到的吸烟与患肺癌有关，犯错误的概率不超过0.001的结论，对学生进行崇尚健康远离烟草的教育.）

疑惑解决后重新回顾独立性检验的一般步骤，与类似的反证法进行对比，进一步加深学生们对独立性检验这一思想方法的理解.独立性检验的思想是来自于统计上的假设检验思想，2

它和反证法都是先假设结论不成立，然后根据是否能够推出“矛盾”来断定结论是否成立，但二者“矛盾”的含义不同，反证法中的“矛盾”是指一种不符合逻辑的事情的发生；而假设检验中的“矛盾”是指不符合逻辑的小概率事件的发生。在全部推理正确的情况下，反证法不会犯错误，但独立性检验会因样本的选择，频率近似概率产生的误差导致犯随机性错误. （该环节让学生回顾反证法，并类比反证法，重新梳理独立性检验的思想，让同学们对这一思想方法的认识更加深一层.）

环节四：应用感悟、思想升华

通过前面的探究与讲解，学生已能够理解看两个分类变量是否有关不能仅凭经验，还需要专业的数学知识来分析，接下来就以班级的所有同学作为样本，来探究一下喜欢打游戏与性别是否有关系？最后强调这组数据仅来自于这个学校，因此所得到的的结论只适合这个群体，点出样本对结论的影响. （该环节引导学生用所学数学知识解决与自己息息相关的问题，让学生切实体会数学来源于生活又服务于数学，调动了学生们学习的积极性同时巩固了本节所学.通过该研究过程，大家对独立性检验的基本思想及一般步骤都已理解透彻，这就是本节课的主要内容.）

环节五：归纳总结、素养提升

生活中处处皆数学，数学来源于生活，数学又服务于数学，本节课堂设计的主要思路就是：一开始我们从几个生活中常见说法是否正确入手，引发数学思考，通过建模，探究数学问题，将问题从定性分析层层引入到定量分析，最后用所研究得到的数学知识验证了引例提出的问题。找学生代表回顾本节所学的主要数学知识.同时点出本节研究的过程中，表格，展现了大家较强的数据分析能力，图表展现了同学们的直观想象直观分析能力，卡方的计算展现了同学们的数学运算能力，整节课解决了很多的实际生活中的问题，体现了大家的数学抽象、数学建模及逻辑推理能力，这些正是大家应该具备的数学六大核心素养. （引领学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学知识条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理．注重学生数学核心素养的提升，可使学生逐渐把经验内化为能力，从而走向一个新的至高点．）

环节六：作业布置，课题研究

为更好的巩固本节所学，给同学们留有两项作业，作业一就是独立性检验的直接应用；作业二是一个调研探究作业，要求形成调研报告，增强学生的数据收集、整理、统计、分析等能力.既巩固了本节所学，又为同学们留出自由发展的空间，将探究的空间又课堂延伸到课外.