2.基本不等式教学教案设计

基本不等式

学习目标：

1．了解基本不等式的证明过程．

2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥______(a，b∈R)．

(2)baa＋b≥____(a，b同号)．

a＋b

(3)ab≤22(a，b∈R)．

(4)a2＋b2a＋b2≥22(a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数

设

a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b

ab，基本不等式可

2，几何平均数为叙述为

_______________________________________________．

1

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当______时，x＋y有最____值2p.(简记：积

定和最小

)

p2

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当______时，xy有最____值4.(简记：和定

积最大)

基础题：

1．(教材习题改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(

) A．80

B．77 C．81

D．82

ba

2．(2017年本溪校级学业考试)若a，b∈R，且ab＞0，则a＋b的最小值是(

)

B．2

A．1

C．2

D．22

213．(2017年双鸭山校级期末)已知x，y都是正数，且

x＋y＝1，则x＋y的最小值

等于

(

)

A．6

B．42

C．3＋22

D．4＋22

4．(2017年内江期末)已知正实数m，n满足m＋n＋m2＋n2＝2，则mn的最大

值为

(

)

A．6－32

B．2

C．6－42

D．3

．5(教材习题改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．

2

11



已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：x－1y－1



1－1>8.

z

【证明】因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，

1－xy＋z2yz1

所以x－1＝x＝x>x，①

1－yx＋z2xz

1－1＝y＝y>y，②

y

1－zx＋y2xy

1－1＝z＝z>z.③

z

又

x，y，z为正数，由①×②×③，

111

得x－1y－1z－1>8. 



【跟踪训练】

111

1．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，求证：a＋b＋c≥9.

51

(1)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．

44x－5

x2＋2

(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．

x－1

x－1(3)函数y＝的最大值为________．

3 x＋3＋x－1

练习题：

1、(2017年江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

1a1b2、(2017年宁化县校级二模)已知实数a，b满足2＜2，则(

) 11A．a＞b

3311C．＜

abB．log2a＞log2b

D．sin a＞sin b

3．(2017年北京模拟)如果关于x的不等式x2＜ax＋b的解集是{x|1＜x＜3}，那么ba等于(

) A．－81

C．－64

B．81

D．64 4．(2017年襄阳校级模拟)设a，b是关于x的一元二次方程x2－2mx＋m＋6＝0的两个实根，则(a－1)2＋(b－1)2的最小值是(

) 49A．－

4C．8

B．18

D．－6

小结：

(1)使用基本不等式求最值，其失误的原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．

4