二 一般形式的柯西不等式优质教案设计

一般形式柯西不等式

知识

一、二维形式的柯西不等式

定理1 （二维形式的柯西不等式）

已知a1，a2，b1，b2∈R，则(a1b1+a2b2)2≤(a12+a22)2(b12+b22)2，

当且仅当a1b2-a2b1=0时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个

非常有用的不等式：

对于任何实数a1，a2，b1，b2,以下不等式成立：

a1a2b1b2≥|a1b1+a2b2|; a1a2b1b2≥|a1b1|+|a2b2|. 22222222

联想

不等式中等号成立a1b2-a2b1=0.这时我们称(a1,a2),(b1,b2)成比例, 如果b1≠0,b2≠0,那么a1b2-a2b1=0a1a2. b1b2若b1·b2=0,我们分情况说明：①b1=b2=0,则原不等式两边都是0,自然成立; ②b1=0,b2≠0,原不等式化为(a12+a22)b22≥a22b22,也是自然成立的; ③b1≠0,b2=0,原不等式和②的道理一样,自然成立.正是因为b1·b2=0时, 不等式恒成立,因此我们研究柯西不等式时, 总是假定b1b2≠0,等号成立的条件可以写成a1a2, b1b2这种写法在表示一般形式(n维)的柯西不等式等号成立的条件时

更是方便、简洁的.

定理2 （柯西不等式的向量形式）设α,β是两个向量，

则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，

等号成立.

学法

定理2 中等号成立的充分必要条件是向量α和β平行（如α,β为非零向量，

则定理2中等号成立的充分必要条件为向量α与β的夹角为0或π，

即α与β对应的坐标分量成比例）,从而可以推知定理1 中等号成立的充分必要条件为a1a2（bi为零时，ai为零，i=1，2）. b1b2

定理3 （二维形式的三角不等式）设x1,x2,y1,y2∈R，

那么x1y1x2y2(x1x2)2(y1y2)2.

2222

二维形式的三角不等式的变式：用x1-x3代替x1，用y1-y3代替y1，

用x2-x3代替x2，用y2-y3代替y2，

代入定理3，得(x1x3)2(y1y3)2(x1x3)2(y2y3)2

(x1x2)2(y1y2)2

二、一般形式的柯西不等式

定理

设ai,bi∈R(i=1,2, …,n),则((aibi)ai2i1i1nn2bi1n2i. 当数组a1，a2，…，an,b1，b2，…，bn不全为0时，等号成立

当且仅当bi=λai(1≤i≤n).

即(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a12+a22+…+an2)2(b12+b22+…+bn2)2（ai,bi∈R,i=1,2,…,n）

中等号成立的条件是a1a2a=…=n. bnb1b2记忆

这个式子在竞赛中极为常用，只需简记为“积和方小于和方积”.

等号成立的条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里

不要求各项均是正数，因此应用范围较广.

一般形式的柯西不等式有两个很好的变式：

2(ai)2ai变式1

设ai∈R，bc>0(i=1,2, …,n),则, i1bibin等号成立当且仅当bi=λai(1≤i≤n).

变式2

设ai,bi同号且不为0（i=1，2，…，n），

2(ai)2ai则,等号成立当且仅当b1=b2=…=bn. i1biaibin

升华

要求ai，bi均为正数.当然，这两个式子虽常用，但是记不记住并不太重要，

只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能

看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用. 柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的a1, …,an;b1, …,bn都表示实数）

是：

（1）a12+a22+…+an2=1,b12+b22+…+bn2=1,则|a1b1+a2b2+…+anbn|≤1;

（2）a1a2+a2a3+a3a1≤a12+a22+a32; （3）(a1+a2+…+an)2≤n(a12+a22+…+an2); 11（4）(a+b)(+)≥4=(1+1)2，其中a、b∈R+; ab111（5）(a+b+c)(++)≥9=(1+1+1)2,其中a、b、c∈R+. abc

柯西不等式是一个重要的不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位. 典题

知识点一：

用柯西不等式证明不等式

例1

设a1>a2>…>an>an+1,求证：

1111>0. a1a2a2a3anan1an1a1思路分析：这道题初看起来似乎无法使用柯西不等式，

但改变其结构就可以使用了，我们不妨改为证：

(a1-an+1)·［111］>1. a1a2a2a3anan1证明：为了运用柯西不等式，我们将a1-an+1写成

a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)+ …+(an-an+1),于是

［(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1)］·（111）≥n2>1. a1a2a2a3anan1即(a1-an+1)·（111）>1, a1a2a2a3anan1∴1111, a1a2a2a3anan1a1an11111>0. a1a2a2a3anan1an1a1故方法归纳

我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式之和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明.

知识点二：

用柯西不等式证明条件不等式

例2

（经典回放）设x1,x2, …,xn∈R+,求证：

x1xxxn≥x1+x2+…+xn. x2x3xnx1思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x2+x3+…+xn+x1)，

也即嵌以因式(x1+x2+…+xn)，由柯西不等式即可得证. 22xxxxn证明：(1)·(x2+x3+…+xn+x1) x2x3xnx122

=［(x1x2)2+(xxx22)+…+(n1)2+(n)2］

x2x1xn［(x2)2+(x3)2+…+(xn)2+(x1)2］

≥(x1x2·x2+xxx2·x3+…+n1·xn+n·x1) x2x1xn2=(x1+x2+…+xn)2, xxxxn于是1≥x1+x2+…+xn. x2x3xnx1巧解提示

柯西不等式中有三个因式ai,bi,aibi，而一般题目中只有一个或两22i1i1i1nnn2个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一.

知识点三：

用柯西不等式求函数的极值

例3

已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5, 试求a的最值. 思路分析：本题求极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，

但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解.

解：由柯西不等式得，有

111(2b2+3c2+6d2)()≥(b+c+d)2, 236222即2b+3c+6d≥(b+c+d)2. 由条件可得，5-a2≥(3-a)2. 解得，1≤a≤2,当且仅当2b3c6d时等号成立. 1/21/31/611代入b=1,c=,d=时，amax=2; 3621b=1,c=,d=时,amin=1. 33巧妙变式

为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决.而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自

相矛盾，否则就会出现错误.这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一. ab如：已知a,b为正常数，且0

3a23b2(3a23b2)(sin2x+cos2x) ≥(3asinx+3bcosx)2. 当且仅当3sinx3acosx3b时等号成立. 于是a23b23asinx+3bcosx. 再由柯西不等式，得

ab3a23b2() sinxcosxab≥(3asinx+3bcosx)(）

sinxcosxab2≥(asinx)=(a3+b3)2. 6bcosxsinxcosx622当且仅当sinx3acosx3b时等号成立. 222ab从而y=≥(a3+b3)3. sinxcosxab于是y=的最小值是(a3+b3)3. sinxcosx222问题·探究

思想方法探究

问题

试探究用柯西不等式导出重要公式.如n个实数平方平均数不小于

这n个数的算术平均数，即若a1,a2,…,an∈R，

aa2anaa2an则1. 1nn探究过程:由柯西不等式可知

(a1+a2+…+an)2≤(a1·1+a2·1+…+an·1)2≤(a12+a22+…+an2)·(12+12+…+12)=(a12+a22+…+an)·n,2222所以(a1a2an)2n≤a12+a22+…+an2,故

a1a2anaa2an. 1nnaa2anaa2an不等式1,把中学教材中仅有关于两个正数1nn的“算术平均”，“几何平均”问题拓广到了“二次幂平均”问题，即n222222222aa2anaa2an，这不仅拓宽了中学生的眼1a1a2an≤1nn界，而且为解决许多不等式的问题开辟了一条新路.

探究结论:柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很好的指导作用，利用它能方便地解决一些

中学数学中的有关问题.