二 一般形式的柯西不等式优秀教学设计

教学设计：

一般形式的柯西不等式

名称

形式

等号成立条件

设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存三维形式的柯西不等式

则(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)

设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，2222222在一个实数k使得ai＝kbi(i＝1,2,3) 当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，b3，…，bn是实数，则(a＋a一般形式的柯西不等式

2222＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)

22122n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n) [点睛] 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．

1、利用柯西不等式证明不等式

[例1] 设x1，x2，…，xn都是正数，求证：＋＋…＋≥111n2x1x2xnx1＋x2＋…＋xn. [思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．

111＋＋…＋[证明] ∵(x1＋x2＋…＋xn)

xnx1x2121212＝[(x1)＋(x2)＋…＋(xn)]·＋＋…＋≥

x1x2xn222x1·1＋x2·1＋…＋xn·122＝n，

x1x2xn∴＋＋…＋≥111n2x1x2xnx1＋x2＋…＋xn. 柯西不等式的结构特征可以记为：

(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋

a2b2＋…＋anbn)2. 其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．

1．设a，b，c为正数，且不全相等．

求证：2229＋＋>. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c

证明：构造两组数a＋b，b＋c，c＋a；得

(a＋b＋b＋c＋c＋a)1a＋b，1b＋c，1c＋a，则由柯西不等式1＋1＋1≥(1＋1＋1)2，①即2(a＋b＋a＋bb＋cc＋ac)1＋1＋1≥9，

a＋bb＋cc＋a于是2229＋＋≥. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a＋b1＝b＋c1＝

a＋bc＋a1⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c. b＋cc＋a因为a，b，c不全相等，故①中等号不成立，

于是2229＋＋>. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c2、利用柯西不等式求最值

[例2] (1)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1. 149求

＋

＋

的最小值；

xyz(2)设2x＋3y＋5z＝29，

求函数μ＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6的最大值．

149[思路点拨] (1)利用＋＋

xyz149＝＋＋(x＋y＋z)．

xy8(2)利用(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)＝

(1×2x＋1＋1×3y＋4＋1×5z＋6). [解] (1)∵x＋y＋z＝1，

149149∴＋＋＝＋＋(x＋y＋z)；

22xyzxyz1≥x·x＋22y·y＋3z·z2

＝(1＋2＋3)＝36.

当且仅当x＝＝，

23111即x＝，y＝，z＝时取等号．

632149所以＋＋的最小值为36. yzxyz(2)根据柯西不等式，有

(2x＋1×1＋3y＋4×1＋5z＋6×1)

≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x＋3y＋5z＋11) ＝3×40＝120. 故2x＋1＋3y＋4＋5z＋6≤230，

当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，

372822即x＝，y＝，z＝时等号成立．

6915此时μmax2＝230. 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．

1．已知x，y，z∈R，且x－2y＋2z＝5，则(x＋5)＋(y－1)＋(z＋3)的最小值是(

) A．20

C．36 22222B．25 D．47 2222解析：选C ∵[(x＋5)＋(y－1)＋(z＋3)][1＋(－2)＋2]≥[(x＋5)＋(－2)(y－1)＋2(z＋3)]＝324，当且仅当2222x＋5y－1z＋31＝－2＝2，即x＝－3，y＝－3，z＝1时取等号．故(x＋5)＋(y－1)＋(z＋3)的最小值是36. 2．若2x＋3y＋4z＝11，则x＋y＋z的最小值为________．

解析：∵2x＋3y＋4z＝11，∴由柯西不等式，得

(x＋y＋z)(4＋9＋16)≥(2x＋3y＋4z)，

121222故x＋y＋z≥，

292222222xyz22当且仅当＝＝，即x＝，

23429y＝，z＝时取等号．

33294429

121答案：

29