二 一般形式的柯西不等式公开课教学设计模版

选修4-5：一般形式的柯西不等式

名称

形式

等号成立条件

设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存三维形式的柯西不等式

则(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)

设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，2222222在一个实数k使得ai＝kbi(i＝1,2,3) 当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，b3，…，bn是实数，则(a＋a一般形式的柯西不等式

2222＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)

22122n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n) [点睛] 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．

考点一：利用柯西不等式证明不等式

[例1] 设x1，x2，…，xn都是正数，求证：＋＋…＋≥111n2x1x2xnx1＋x2＋…＋xn. [思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．

111[证明] ∵(x1＋x2＋…＋xn)＋＋…＋

x1x22xn＝[(x1)＋(x2)＋…＋(xn)]·22121212＋＋…＋≥

x1x2xnx1·1＋x2·1＋…＋xn·122＝n，

x1x2xn∴＋＋…＋≥111n2x1x2xnx1＋x2＋…＋xn. 小结：柯西不等式的结构特征可以记为：

(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn). 其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．

题组训练

1．设a，b，c为正数，且不全相等．求证：证明：构造两组数a＋b，b＋c，c＋a；2229＋＋>. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c12a＋b，1b＋c，1c＋a，

则由柯西不等式得

(a＋b＋b＋c＋c＋a)即2(a＋b＋c)于是1＋1＋1≥(1＋1＋1)2，①

a＋bb＋cc＋a1＋1＋1≥9，

a＋bb＋cc＋a2229＋＋≥. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a＋b1＝b＋c1＝

a＋bc＋a1⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c. b＋cc＋a因为a，b，c不全相等，故①中等号不成立，

于是2229＋＋>. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c考点二：利用柯西不等式求最值

149 [例2] (1)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1.求

＋

＋

的最小值；

xyz(2)设2x＋3y＋5z＝29，求函数μ＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6的最大值．

[解] (1)∵x＋y＋z＝1，

149149∴＋＋＝＋＋(x＋y＋z)≥xyzxyz2123·x＋·y＋·z

xyz＝(1＋2＋3)＝36. yz111当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号．

23632149所以＋＋的最小值为36. xyz(2)根据柯西不等式，有

(2x＋1×1＋3y＋4×1＋5z＋6×1)

≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x＋3y＋5z＋11) ＝3×40＝120. 故2x＋1＋3y＋4＋5z＋6≤230，

当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，

372822即x＝，y＝，z＝时等号成立．此时μ6915max2＝230.

小结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．

题组训练

2．已知x，y，z∈R，且x－2y＋2z＝5，则(x＋5)＋(y－1)＋(z＋3)的最小值是(

) A．20

C．36 22222B．25 D．47 2222解析：选C ∵[(x＋5)＋(y－1)＋(z＋3)][1＋(－2)＋2]≥[(x＋5)＋(－2)(y－1)＋2(z＋3)]＝324，当且仅当2222x＋5y－1z＋31＝－2＝2，即x＝－3，y＝－3，z＝1时取等号．故(x＋5)＋(y－1)＋(z＋3)的最小值是36. 3．若2x＋3y＋4z＝11，则x＋y＋z的最小值为________．

解析：∵2x＋3y＋4z＝11，∴由柯西不等式，得

(x＋y＋z)(4＋9＋16)≥(2x＋3y＋4z)，

121222故x＋y＋z≥，

292222222xyz223344当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号．

234292929121答案：

294．把一根长为12 m的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S最小，并求此最小值．

解：设三段绳子的长分别为x，y，z，则x＋y＋z＝12，三个正方形的边长分别为，，44xyx2y2z21222均为正数，三个正方形面积之和：S＝＋＋＝(x＋y＋z)．

444416z∵(1＋1＋1)(x＋y＋z)≥(x＋y＋z)＝12，

即x＋y＋z≥48.从而S≥222222222221×48＝3. 16当且仅当＝＝时取等号，

111又x＋y＋z＝12，

∴x＝y＝z＝4时，Smin＝3. 故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m. 创新演练

1．已知a＋b＋c＋d＝5，则ab＋bc＋cd＋ad的最小值为(

) A．5 B．－5 22222xyz

C．25 22D．－25 2222222解析：选B (ab＋bc＋cd＋ad)≤(a＋b＋c＋d)·(b＋c＋d＋a)＝25，当且仅当a＝b＝c＝d＝±25时，等号成立．∴ab＋bc＋cd＋bd的最小值为－5. 2222222．已知a1＋a2＋…＋an＝1，x1＋x2＋…＋xn＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(

) A．1 C．3 2B．2 D．4 222222解析：选A (a1x1＋a2x2＋…＋anxn)≤(a1＋a2＋…＋an)·(x1＋x2＋…＋xn)＝1×1＝1，当且仅当＝＝…＝＝1时取等号．

∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1. 123yz3．已知x，y，z∈R＋，且＋＋＝1，则x＋＋的最小值是(

) xyz23A．5 C．8 B．6 D．9 2·x1x2a1a2xnanyz123yz1解析：选D x＋＋＝＋＋·x＋＋≥·x＋

23xyz23x1231＝9，当且仅当＝＝＝时等号成立．

xyz3y2y＋

3·z23z4．设a，b，c，x，y，z是正数，且a＋b＋c＝10，x＋y＋z＝40，ax＋by＋cz＝20，则222222a＋b＋c＝(

) x＋y＋z1A. 41C. 221B.

33D.

4222222解析：选C 由柯西不等式得，(a＋b＋c)(x＋y＋z)≥(ax＋by＋cz)＝400，当且abc1a＋b＋c1仅当＝＝＝时取等号，因此有＝. xyz2x＋y＋z25．已知2x＋3y＋z＝8，则x＋y＋z取得最小值时，x，y，z形成的点(x，y，z)＝________. 解析：由柯西不等式(2＋3＋1)(x＋y＋z)≥(2x＋3y＋z)，即x＋y＋z≥当且仅当＝＝z时等号成立．

2381248124又2x＋3y＋z＝8，解得x＝，y＝，z＝，故所求点为，，. 777777222222222222232. 7xy

8124答案：，，

77749366．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)＋＋的最小值是________．

abc4936解析：(a＋b＋c)＋＋

abc＝[(a)＋(b)＋(c)]222223262＋＋

abc62

≥a·2a＋b·23b＋c·c＝(2＋3＋6)＝121. 当且仅当＝＝＝k(k为正实数)时，等号成立．

236答案：121 7．已知实数x，y，z满足3x＋2y＋z＝1，则x＋2y＋3z的最小值为________．

解析：由柯西不等式，得[x＋(2y)＋(3z)]·3＋(2)＋3222＝1，所以x＋2y＋3z≥，

34当且仅当＝3222222abc22122≥(3x＋2y＋z)3x2y2＝3z931，即x＝，y＝，z＝时，等号成立，

134343433222所以x＋2y＋3z的最小值为. 343答案：

348．在△ABC中，设其各边长为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a＋b＋22c2)12＋12＋12≥36R2. sinAsinBsinC证明：∵＝＝＝2R，

sin Asin Bsin C∴(a＋b＋c)222abc12＋12＋12≥a＋b＋c2＝36R2. sinAsinBsinCsin Asin Bsin C2222229．在直线5x＋3y＝2上求一点，使(x＋2y－1)＋(3x－y＋3)取得最小值．

解：由柯西不等式得(2＋1)[(x＋2y－1)＋(3x－y＋3)]≥[2(x＋2y－1)＋(3x－y＋3)]＝(5x＋3y＋1)＝9. 922∴(x＋2y－1)＋(3x－y＋3)≥. 522

当且仅当x＋2y－1＝2(3x－y＋3)即5x－4y＋7＝0时取等号．

5x＋3y＝2，解方程组5x－4y＝－7，

13x＝－，35得9y＝7.

139故所求点的坐标为－，. 35710．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．

(1)求m的值；

111(2)若a，b，c为正实数，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. a2b3c解：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，

所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}，

又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1. 111(2)证明：由(1)知＋＋＝1，

a2b3c1112111＋3c·所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)＋＋≥a·＋2b·＝9. a2b3ca2b3c