3.2.2 复数代数形式的乘除运算第二课时 公开课

普通高中课程标准实验教科书—数学选修I-2[人教版A] §3.2.2复数代数形式的乘除运算

教学目标：

知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算通过竖式运算增强学生的运算能力

过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

情感、态度与价值观：利用多项式乘除法和复数乘除法的对比以及竖式运算的运用，知道事物之间是普遍联系的。通过学习复数乘除法的法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。

教学重点：复数代数形式的除法运算

教学难点：对复数除法法则的运用

教具准备：多媒体

教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d，当两个复数不全是实数时不能比较大小

教学过程：

复习引入：

1.

复习复数加减法的运算法则和竖式运算

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么

(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i

竖式运算

a  bi

±

c  di

(ac)(bd)i

2.

学生参与出题、解答，通过练习加强学生对复数加减法运算的应用

3.

多项式乘以多项式只需将其中一个多项式的各项分别与另一个多项式的各项相乘，然后把所得的积相加，即

(a+b)(c+d) = ac+ad+ bc+bd

4.

复习多项式乘法的完全平方公式和平方差公式，并且用竖式运算

22

(ab)

(ab)(ab)a2b2

a2ab

2b

a  b

a  b

b



a





a  b

22



b



a

b

b

aba

ba

b

a2

+

a2

+

a2 + 2ab+ b2

a2 

b2

讲授新课：

１．乘法运算法则：

1

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并两个复数的积仍然是一个复数

复数乘法竖式运算法则：

2.乘法运算律：(1) z1z2z2z1

证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，

z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1

∴z1z2=z2z1

(2)z1(z2z3)(z1z2)z3

证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).

∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i) =［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i

=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，

同理可证：

z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，

∴(z1z2)z3=z1(z2z3)

(3z1(z2z3)z1z2z1z3

证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i

=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i

2

∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 例1计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i) 解:原式=(64i3i2i2)(13i)

=(8i)(13i)

=824ii3i2

=525i

练习：

(1-2i)(3+4i)(-2+i)

【答案】-20+15i. 例2计算：（1）（1+ i)2；

（2）

(3+4i) (3-4i)

解：（1）

（1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i ; （2）

(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25. 222【拓展】（1）

bi（）1(abi)2

(abi)(ab)2a

（2）(2)(abi)(abi)

(abi)(abi)=a2b2

3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数zabi的共轭复数为z，zabi. 4.

复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以abi复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者

cdi5.除法运算法则：

①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，

即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.

∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. acbdx,22cxdya,cd

由复数相等定义可知，解方程组，得dxcyb.ybcad.c2d2于是有:(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad

i. c2d2c2d2

3

②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将abi的分母有理化得：

cdi原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

cdi(cdi)(cdi)c2d2(acbd)(bcad)iacbdbcad2i. c2d2cd2c2d2∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2i. 222cdcd点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

例3计算(12i)(34i)

解：(12i)(34i)12i

34i(12i)(34i)386i4i510i12i

22(34i)(34i)3425551i211) ⑶

1i32i32i练习.计算

⑴

(7i)(34i) ⑵(

1-i

-1

4i

13a21b2[(a1)b(a1)b]i02bibi.

22ab2a112a1a1∵b≠0，a、b∈R，∴bi是纯虚数

a1巩固练习：1.设z=3+i,则A.3+i

2.1等于（

）

z31i

1010B.3－i

C.D.31i

1010abiabi的值是（

）

baibaiA.0

B.i

C.－i

D.1

4

3.已知z1=2－i,z2=1+3i,则复数iz2的虚部为（

）

z15A.1

B.－1

C.i

D.－i

x3y4.设

(x∈R,y∈R),则x=___________,y=___________. 1i2i1i

39答案：1.D

2.A

3.A

4.

, －

55课后作业：课本第112页

习题3. 2

A组4，5，6 ；B组1，2 教学反思：

复数的运算在高考中主要以选择填空题形式出现。因此对于学生的计算要求比较高。在本节课中，为了提高学生的计算的准确性，我引入了复数乘法的竖式运算。竖式运算的应用一方面延伸了数的竖式运算，加强了多项式的运算，另一方面培养了学生的探索精神。在本节课中大多数学生能够很好地参与到课堂之中，完成了教学目标。

5

高考题选

2016年高考数学试题分-------复数

1、（2016年高考新课标Ⅲ卷文）若z43i，则z＝（ ）

|z|2、（2016年高考新课标Ⅲ卷理）若z12i，则4i（ ）

zz1(A)1 (B) -1 (C)i (D) i

3、（2016年高考新课标Ⅱ卷文）设复数z满足zi3i，则z=（

）

（A）12i

（B）12i

（C）32i

（D）32i

4、（2016年高考新课标Ⅱ卷理）已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）

（A）(31)， （B）(1，3)

3) （C）(1,+) （D）(-，5、(2016年高考新课标Ⅰ卷文) 设12iai的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=

（A）－3

（B）－2

（C）2

（D）3

6、（2016年高考新课标Ⅰ卷理）设(1i)x1yi,其中x,y实数,则xyi=

（A）1

（B）2

（C）3

（D）2 7、（2016年高考四川卷文）设i为虚数单位，则复数(1i)= (A) 0

(B)2

(C)2i

(D)2+2i

8、（2016年高考天津卷文）i是虚数单位，复数z满足(1i)z2，则z的实部为_______. 9、（2016年高考天津卷理）已知a,bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则为_______. 10、（2016年高考四川卷）设i为虚数单位，则(xi)的展开式中含x4的项为

（A）－15x4

（B）15x4

（C）－20i x4

（D）20i x4

11、（2016年高考山东卷文）若复数z（A）1+i

（B）1−i

2，其中i为虚数单位，则z

=（

）

1i62a的值b（C）−1+i

（D）−1−i

12、

（2016年高考山东卷理）若复数z满足2zz32i,

其中i为虚数单位，则z=（

）（A）1+2i

（B）12i

（C）12i

6

（D）12i

12i（）

2i32i14、（2016年高考上海卷文理）设Z，期中i为虚数单位，则Imz=_____________. i13、（2016年高考北京卷文）复数15、（2016年高考北京卷理）设aR，若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则a_______________. i),16、（2016年高考江苏卷）复数z(12i)(3其中i为虚数单位，则z的实部是_______________.

7

2016年高考数学试题分项版—复数（解析版）

1、（2016年高考新课标Ⅲ卷文）若z43i，则（A）1

【答案】D

（B）1

z＝（ ）

|z|43（C）i

55（D）43i

55

考点：1、复数的运算；2、共轭复数；3、复数的模．

【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把i换成－1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．

2、（2016年高考新课标Ⅲ卷理）若z12i，则24i（ ）

zz1(A)1 (B) -1 (C)i (D) i

【答案】C 【解析】

试题分析：4i4ii，故选C．

zz1(12i)(12i)1考点：1、复数的运算；2、共轭复数．

【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把i换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．

3、（2016年高考新课标Ⅱ卷文）设复数z满足zi3i，则z=（

）

（A）12i

（B）12i

（C）32i

（D）32i

【答案】C 【解析】

试题分析：由zi3i得，z32i，所以z32i，故选C. 2

8

考点：

复数的运算，共轭复数. 【名师点睛】复数abi(a,bR)的共轭复数是abi(a,bR)，两个复数是共轭复数，其模相等.

4、（2016年高考新课标Ⅱ卷理）已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）

（A）(31)， （B）(1，3)

3) （C）(1,+) （D）(-，【答案】A [来源:Zxxk.Com考点：

复数的几何意义. 【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．

复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

平面向量OZ. 复数z＝a＋bi(a，b∈R)

5、(2016年高考新课标Ⅰ卷文) 设12iai的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=

（A）－3

（B）－2

（C）2

（D）3 【答案】A 【解析】

试题分析：(12i)(ai)a2(12a)i,由已知,得a212a,解得a3,故选A. 考点：复数的概念及复数的乘法运算

【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是i1中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.

9 2

6、（2016年高考新课标Ⅰ卷理）设(1i)x1yi,其中x,y实数,则xyi=

（A）1

（B）2

（C）3

（D）2 【答案】B 【解析】

试题分析：因为x(1i)=1+yi,所以xxi=1+yi,x=1,yx1,|xyi|=|1+i|2,故选B. 考点：复数运算

【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是i1中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性. 7、（2016年高考四川卷文）设i为虚数单位，则复数(1i)2= (A) 0

(B)2

(C)2i

(D)2+2i

【答案】C 【解析】

试题分析：由题意，(1i)12ii2i，故选C. 考点：复数的运算. 【名师点睛】本题考查复数的运算．数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．

8、（2016年高考天津卷文）i是虚数单位，复数z满足(1i)z2，则z的实部为_______. 【答案】1 【解析】

试题分析：(1i)z2z考点：复数概念

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i,(a,b,c.dR)，22221i，所以z的实部为1 1iabi(acbd)(bcad)i,(a,b,c.dR)，. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数cdic2d2

10

abi(a,bR)的实部为a、虚部为b、模为a2b2、共轭为abi.

9、（2016年高考天津卷理）已知a,bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则为_______. 【答案】2 【解析】

试题分析：(1i)(1bi)1b(1b)ia，则案为2．

考点：复数相等

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i,(a,b,c.dR)，a的值b1baa2a，所以，2，故答1b0b1babi(acbd)(bcad)i,(a,b,c.dR)，. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数cdic2d2abi(a,bR)的实部为a、虚部为b、模为a2b2、共轭为abi.

10、（2016年高考四川卷）设i为虚数单位，则(xi)的展开式中含x4的项为

（A）－15x4

（B）15x4

（C）－20i x4

（D）20i x4

【答案】A 6考点：二项展开式，复数的运算. 【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式r6rr(xi)6的展开式可以改为(ix)6，则其通项为C6ix，即含x4的项为4644C6ix15x4．

11、（2016年高考山东卷文）若复数z2，其中i为虚数单位，则z

=（

）

1i

11

（A）1+i 【答案】B[来源:Zxxk.Com]

（B）1−i

（C）−1+i

（D）−1−i

考点：1.复数的运算；2.复数的概念.

【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.[来源学科网Z|X|X|K]

12、

（2016年高考山东卷理）若复数z满足2zz32i,

其中i为虚数单位，则z=（

）（A）1+2i 【答案】B 【解析】

试题分析：设zabi，则2zz3abi32i，故a1,b2，则z12i，选B. 考点：1.复数的运算；2.复数的概念.

【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一. 13、（2016年高考北京卷文）复数

（B）12i

（C）12i

（D）12i

12i（）

2iA.i

B.1i

C.i

D.1i

【答案】A【解析】

试题分析：[来源学#科#网Z#X#X#K]

12i(12i)(2i)2i4i2i，故选A. 2i(2i)(2i)5考点：复数运算

【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式

12

的形式，再将分母实数化

14、（2016年高考上海卷文理）设Z【答案】3

【解析】

试题分析：

zi(32i)23i，故Imz3

32i，期中i为虚数单位，则Imz=_____________. i 考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一. 15、（2016年高考北京卷理）设aR，若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则a_______________. 【答案】1. 【解析】

试题分析：(1i)(ai)a1(a1)iRa1，故填：1. 考点：复数运算

【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化

i),16、（2016年高考江苏卷）复数z(12i)(3其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________.

【答案】5 【解析】

试题分析：z(12i)(3i)55i，故z的实部是5

考点：复数概念

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i,(a,b,c.dR). 其次要熟悉复数相关基本概念，

13

如复数abi(a,bR)的实部为a、虚部为b、模为ab、共轭为abi.

22

14