3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义板书设计及意图

3.2

复数代数形式的四则运算

3.2.1

复数代数形式的加减运算及其几何意义

1．熟练掌握复数的代数形式的加减运算法则．(重点) 2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．(难点、易混点)

[基础·初探] 教材整理1

复数代数形式的加法运算及几何意义

阅读教材P107～P108“思考”以上内容，完成下列问题．

1．运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i. 2．加法运算律

交换律

结合律

3.复数加法的几何意义

→→如图3-2-1，设复数z1，z2对应向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行→四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ. z1＋z2＝z2＋z1

(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)

图3-2-1

→→在复平面内，向量OZ1对应的复数为－1－i，向量OZ2对应的复数为1－i，则→→OZ1＋OZ2对应的复数为________．

→→【解析】

由复数加法运算的几何意义知，OZ1＋OZ2对应的复数即为(－1

－i)＋(1－i)＝－2i. 【答案】

－2i 教材整理2

复数代数形式的减法运算及几何意义

一．运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 1．练一练

(1)(－2＋3i)＋(5－i)；

(2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；

(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．

【解】

(1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i＝22i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i. 二．复数减法的几何意义

→→→如图3-2-2所示，设OZ1，OZ2分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且OZ1，→→→→OZ2不共线，则这两个复数的差z1－z2与向量OZ1－OZ2(即Z2Z1)对应，这就是复数减法的几何意义．

图3-2-2 →→这表明两个复数的差z1－z2(即OZ1－OZ2)与连接两个终点Z1，Z2且指向被减数的向量对应．

已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z1－z2对应的点位于第________象限．

【解析】

z＝z1－z2＝(2＋i)－(1＋2i)＝(2－1)＋(1－2)i＝1－i，对应的点为(1，－1)位于第四象限．

【答案】

四中·华.资*源%库 ziyuanku.com

2.计算：

(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)；

(2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)；

(3)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；

(4)(a＋bi)－(3a－4bi)＋5i(a，b∈R)．

【精彩点拨】

解答本题可根据复数加减运算的法则进行．

【自主解答】

(1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i. (2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i. (3)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (4)原式＝(－2a＋5bi)＋5i＝－2a＋(5b＋5)i.

1．复数运算类比实数运算，若有括号，括号优先，若无括号，可从左到右依次进行．

2．算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加．

3．准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率．

在复平面内，A、B、C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．

→→→【精彩点拨】

AD＝AB＋AC→z4－z1＝z2－z1＋z3－z1→z4→|z4－z1|

【自主解答】

如图所示：

→AC对应复数z3－z1，

→AB对应复数z2－z1，

→AD对应复数z4－z1，

→→→由复数加减运算的几何意义得AD＝AB＋AC，

∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，

∴z4＝z2＋z3－z1中华资源%库＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，

→∴AD的长为|AD|＝|z4－z1| ＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210. 三,归纳总结

1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．

2．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．

3．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．