2.基本不等式教学设计案例

《基本不等式》（第一课时）教学设计

简阳市石桥中学 付小东

一、内容与内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.4节

《基本不等式》的第一课时，主要内容是探索基本不等式的生成和证明过程及其简单的应用. 本节内容具有变通性、应用性的特点，它与线性规划呈并列结构，可用来求某些函数的值域和最值，也可解决实际生活中的最优化配置问题.本节内容由两部分构成，其一是利用“一正、二定、三相等”的七字条件求函数最值并用来解决实际问题，其二是对基本（重要）不等式的探究过程，并在探究过程中学会研究某些数学问题的过程与方法.作为本节内容的第一课时，重点在后者.特别是，本节课内容是体现新课程让学生积极动手实践、自主探索、合作交流学习方式的良好素材. 本节课教学重点：

1.学生在经历基本（重要）不等式的生成及证明过程中初步学会“实验（几何）——猜想(代数)——证明——结论（定理、概念）——应用”的探索数学问题的方法. 2.会运用基本（重要）不等式解决简单的比较大小和求某些函数最值的简单问题. 二、教学目标

（1）通过拼图、折纸的几何实验，经历基本（重要）不等式的发现过程，初步学会在类似的问题情境下，尝试运用

“实验——猜想——证明——结论（定理、概念）——应用”的方法探究数学问题. （2）了解基本（重要）不等式证明过程，能在证明过程中分析不等式成立的条件. （3）会运用基本（重要）不等式比较大小. （4）知道基本不等式成立的条件，并会求yax最小值，初步认识

“=”成立的作用. （5）通过对基本不等式的探究及几何解释的理解，体会数形结合思想的作用. （6）在认识赵爽弦图的过程中，了解中国数学文化，增强民族自豪感. 在探究不等式的过程中，体会量变与质变的辩证关系.通过教师对基本不等式例题的设置，帮助学生树立现代社会诚信意识及科学的节能减排理念. 三、教学难点：

ba0,b0类型的函数在x0时的x

1

1.运用

“实验（几何）——猜想（代数）——证明——结论（定理、概念）——应用”解决数学问题的方法的形成过程. 2. 基本（重要）不等式证明过程及应用. （二）学习新知所需条件分析

（1）学生具有动手操作数学的意识和基本的观察能力和提取数据的能力. （2）学生具有初步用数形结合思想独立分析问题的能力. （3）学生具有利用比较法证明不等式和函数最小值概念的知识基础. 四、教法分析

本节课以数学实验为抓手，以问题为载体，为学生提供动手做、动眼看、动脑想和动口说的机会，引导学生积极思考、合作探究，体现“重过程、重情感、重生活”的理念.教学中在动手折纸的基础上辅以几何画板的动态演示，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生学会数学地思考问题的能力，增进应用意识和问题意识.利用学生感兴趣的数学文化知识和生活中的问题，实现情感、态度、价值观目标. 五、教学过程

（一）感知问题，指明研究方法

a

b 1.观察直角三角形，提出问题1. 问题1：在直角三角形的边的关系中有哪些不等关系，你能提炼出怎样的不等式？

师生活动：学生利用直角三角形的性质总结不等式：a2b2a、aba2b2等，并感受a、b取值范围的重要性.学生体验由几何图形中的不等关系容易得出一些恒成立的不等式，并感受数形结合的作用及事物间普遍联系的观点. 2.点明本节课要通过几何图形中的不等关系探索出一些重要的、有用的恒成立的不等式. （二）探究问题，感受研究方法

1．重要不等式探究过程

问题2：由一个直角三角形过渡到四个全等的直角三角形，你能拼成以斜边为边长、外轮廓为正方形的图形吗？

师生活动：以小组活动形式动手实验，尝试摆出图形，从而介绍赵爽的弦图和第24届北京国

2

际数学家大会的会标，学生将数学文化融入内心世界，内化成学习动力.

【课件开发】利用PPT逐个出示图片，学生通过图片直观感受,增强以爱国主义为核心的民族精神. 问题3：

从几何图形中的不等关系可提炼出怎样的代数形式的不等式呢？在同学们摆出的图形中有没有二者相等的情况？什么样的三角形会使不等关系变为相等？

师生活动：学生通过观察图形,容易找到不等式，也容易得出二者相等的条件.教师借助几何画板进行动态演示，验证不等关系.通过由不等向相等过渡，使学生感受由量变到质变的变化过程.从而指明“=”成立的条件，解释“当且仅当”的含义，并总结出一般情况. 【设计意图】学生体会如何从实验中发现问题，如何从特殊到一般地猜想问题.感受到由“形”到“数”的逐步提炼的过程，感受由量变到质变的数学问题中的辩证关系. 【课件开发】根椐学生的回答，配合幻灯片展示（如图2）.拖动利用几何画板中的控制点(如图3)，使a、b的长度不断变化，通过观察a、b的值和图形中的不等关系，以及不等到相等的过渡，体会当且仅当的含义，感受当量变积累到一定程度必然会质变的道理. 实验：DCAcbaa2b2Ba=b问题：观察赵爽的弦图，你能得出怎样的不等的关系？正方形ABCD的面积> 4个直角三角形面积之和a2b22ab

a = 1.89图2 b = 3.55

a

图3 3 b

问题4：由图形验证的结论只是猜想，并不能代表一般的情况，你能证明你的猜想吗？在证明的过程中你能发现不等式成立的条件吗？

预设方案二：综合法

由ab0推出结论

2【设计意图】虽然证明过程很简单，但对学生来说证明会稍有困难，所以必要时要对学生进行适当的点拨.同时通过证明过程发现不等式成立的条件，加深学生对知识的理解. 【课件开发】展示研究重要不等式的过程，强调结论的重要性. 实验：猜想：a2b22ab当且仅当ab时，等号成立。证明：结论：一般地,对于任意实数a,b, 我们有a2b22ab当且仅当ab时，等号成立。应用：

图4 【课件开发】逐个出示放映幻灯片，达到增强知识间联系的效果. 应用：(1)若x0,则x1(2)若ab0,则ax2x1x2bba2abba2(1)若x0,则x1x2x1x2当x0时,函数yx1x通过上述过程，你知道此函数的什么性质？当x为何值时函数取到最小值？当且仅当x1x,即x1时，等号成立，此时函数值最小；

图13

4

应用：(1)若x0,则x112x2xxabab(2)若ab0,则22babaabab(2)若ab0,则22baba当ab0时,函数yabba通过上述基本不等式的使用，你知道这个二元函数的什么性质？当a,b满足什么条件时函数取到最小值？当且仅当ab即ab时，等号成立，此时函数值最小；ba

图14

应用：(1)若x0,yx112x2xx(2)若ab0,yabab22baba反思：每个函数的最小值都是定值2？变式：当x0时,求函数y9x4x的最小值，并求出当x为何值时，y最小.1

图15

（三）归纳梳理，体会研究价值

问题5：本节课主要学习了什么？在本节课学习的过程中，你有何体会？能否求函数1yx(12x)(0x)的最大值和yx2221x22的最小值？

师生活动：先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其指出本节课所经历的知识探究过程和数形结合的思想，强调数学文化及用不等式解决生活问题时给我们带来的启示，提出思考问题为下节课作准备. 【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识及方法纳入已有的认知结构，提升情感、态度、价值观目标.通过两个思考问题为下节课的学习埋下伏笔. 【课件开发】出示幻灯片，总结本节课内容，引发对下节内容的思考.

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（1）本节课主要学习了什么？思考：函数1yx(12x)(0x)的最大值21yx22的最小值x22下节课共同探讨（2）在本节课学习的过程中，你有何体会？

（四）目标检测设计

1.

比大小

图16 2x3x152162; 62；

xy 2xy; 1516 222x【设计意图】采用三道简单的比大小的题目，检测学生对基本不等式内容的掌握和使用情况. 2.

求下列函数的最小值，并求出自变量满足什么条件时取得最小值. (1)yx2211(x0)(2)yx(x1)；

；

(3)ysinx(x0,)；

2xx1sinx2b(a0,b0)型函数在定义域为(0,)的最小值的掌握情况.x【设计意图】检测yax第（1）小题体现取最小值时x有两个值，第（2）体现简单的配凑方法，检测学生对不等式形式的理解；第（3）题重点突出换元思想和“=”成立条件的理解.此题为下节课的学习作准备.

（五）布置作业：

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