一 数学归纳法优秀教学设计

数学归纳法

教学目标

1.让学生能够理解数学归纳法的原理，并且利用它于证明一些与无穷的自然数集相关的简单命题. 2.在学习的过程中，体会数学猜想、归纳推理、构造、放缩等的思想方法. 3.培养学生研究数学、应用数学的意识. 教学重点

理解数学归纳法的原理，并且利用它于证明一些与无穷的自然数集相关的简单命题. 教学难点

利用数学归纳法于证明一些与无穷的自然数集相关的简单命题. 教学方法

问题驱动式

教学过程

一、导入新课

导语：

1.古代人们观察太阳每天从东边升起，西面落下，于是归纳出明天太阳依然是“东升西落”。

2.三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，......，n边形的内角和是多少度？并且如何证明？

3.若

，如何证明：

时取等号. ......

①，当且仅当一般地：用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立的方法叫数学归纳法.数学归纳法的理论基础为自然数的序数理论，是由意大利数学家Peano在他的著作《算数原理新方法》中提出. 二、方法点拨

1.用数学归纳法证明命题的步骤是什么呢？

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；

（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，推证当nk1时命题也成立. 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

2.数学归纳法可以证明那些问题呢？ 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等. 3.如何利用数学归纳法进行证明呢？请看以下例题. 三、典例精讲

【典例1】证明：f(n)(3n1)7n1(nN*)能被3整除. 【解析】(1)n=1时，f(1)47127，能被3整除，即n=1时命题成立；

(2)假设n=k,

时成立，即f(k)(3k1)7k1(k2,kN*)能被3整除，则n=k+1时，f(k1)f(k)(3k4)7k11[(3k1)7k1]3(6k9)7k，f(k1)f(k)3(6k9)7k，能被3整除.即n=k+1时命题成立；

综合(1)(2)，原命题成立. 点评：运用数学归纳法进行严格证明，使许多有关正整数n的问题得到较为流畅的探究.

【典例2】整数

，nN*.证明：当x1且x0时，

. 【解析】（1）①当

时，x1且x0，则

. 所以(1x)12xx12x，原不等式成立. 27

22

②假设

时，不等式(1x)k1kx成立.当

时，

(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x

所以

时，原不等式也成立. 综合①②可得，当x1且x0时，对一切整数

，不等式

均成立. 点评：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法；证明关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.

【典例3】设数列

的前n项和为

，满足

，

，且

.求数列

的通项公式. 【解析】经计算可得

，

，

，猜想

. 由题意得

，下面使用数学归纳法证明：

假设当

时，猜想成立，即ak2k1则有

则当

时，有

这说明当

时，猜想也成立，

由归纳原理知，对任意

，an2n1.

点评：本题通过计算

，

，

的值，可以猜想数列

为等差数列，先假设通项公式，再利用数学归纳法进行证明.解题过程中还涉及数列和与项之间的关系.

【典例4】设数列

满足a1＝2，

(n＝1，2，…).证明：

对

一切正整数n都成立. 【解析】当n＝1时，

，不等式成立.

假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，

成立.那么当n＝k＋1时，

.

∴当n＝k＋1时，

成立.

综上，

对一切正整数n都成立.

四、针对练习

1.设

(n∈N*).求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N).

1.【解析】证明：(1)当n＝1时，左边＝f(1)＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立. (2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，

那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)-k

＝(k＋1)

－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，

∴当n＝k＋1时结论仍然成立.由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*).

.求

，

，猜想

的表2.在数列

中，

，

，且

*

达式，并加以证明.

2.【解析】计算可得

，

，猜想：任意

，

，

假设

时，猜想成立，即

，

则当

时，

，这说明，当

时，猜想也成立，

综合可知任意

，

.

五、拓展与延伸

第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设

时，命题均成立，然后证明

命题成立.理论依据为最小数原理.可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：

（1）归纳验证：验证

（

是满足条件的最小整数）时，命题成立；

（2）归纳假设：假设

成立，证明当

时，命题也成立；

（3）归纳结论：得到结论：

时，命题均成立.

【典例5】将质数由小到大编上序号，2算作第一个质数，3算第二个质数，依此类推，求证：第n个质数

. 【解析】(1)当n=1时，

，结论成立；

(2)假设

时结论成立，即

，将这k个不等式两边分别相乘，得：

，

.所以

、

、

、

都不能整除

，所以29

的质因数

不可能是

、

、

、

，只能大于或等于

. 所以

综合(1)(2)，原命题成立. 点评：本题采用第二数学归纳法，

都成立为前提.

，即

.即n=k+1时命题成立. 成立以

，

，

，

六、布置作业

请同学们完成对应的练习案.