探究与发现 组合数的两个性质优质课教案内容

§1.2.2 组合（一）

四川省泸县第二中学 舒脐仙

教材

新课标人教A版选修2-3 一、教材分析

本节课的教学内容是选修2-3（人教A版）§1.2.2《组合》第一课时．本节内容是两个计数原理及排列知识的延续，也是后续学习二项式定理，研究二项式系数性质及求等可能事件概率的基础，因此本节课在整个章节中起了承上启下的重要作用。本节课主要是借助学生身边的例子，类比排列的知识探究组合的定义、组合数的定义、组合数计算公式及组合数的性质，并从具体情境中体会排列与组合的区别与联系。通过对组合教学的探究，让学生体会类比，从特殊到一般等重要数学思想的应用以及数学来源于生活又服务于生活的课程理念。

二、学情分析

从学生的现有知识水平看，在学习本节前，学生已学习了两个基本计数原理、排列。绝大多数学生能正确运用两个计数原理，能正确理解排列、排列数的概念，能比较熟练地应用排列数公式进行计算。还能遵循先特殊后一般、先取后排、先分类后分步的原则，解决典型的排列问题。因此在本节课教学要借助这些已有的知识，通过观察、分析、类比、归纳，帮助学生理解组合的概念；从能力的角度看，学生已经具备了一定的分析问题的能力、思考的能力、探究的能力、计算的能力、数学表达的能力，教学中要借助学生已有的能力，提供实际问题情境，引导学生进行分析，向学生提供合适的探究材料，引发学生的主动探究，借助小组讨论、合作交流，全班展示等活动培养学生的自主学习、合作学习及数学表达能力。

三、设计理念

《组合》是继排列后的又一特殊的计数模型，是计数问题的延续与拓展。本节课我的设计理念是：以问题为载体，以学生为主体，创设有效问题情境，努力营造开放、民主、和谐的学习氛围，充分调动学生的兴趣与积极性。让学生在经历“自主、探究、合作”的过程中，体验从生活中发现数学，并通过观察、分析、对比、归纳、猜想、证明、展示、交流等一系列思维活动，在教师的适当引导、组织下主动地建构数学知识的过程。同时注重渗透“特殊与一般”、“分类讨论”、

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“转化与化归”等重要数学思想及类比的学习方法，让学生掌握知识的同时提升数学素养与思维品质，真正做到“授之以鱼不如授之以渔”。

四、教学目标

1. 通过归纳、对比排列的概念得出组合概念；

2. 通过分步计数原理和排列数公式推导出组合数公式；

3. 根据实际问题的特征，初步正确区分“排列”或“组合”；

4. 会做组合数的简单运算。

五、教学重、难点

1．教学重点：（1）通过归纳、对比排列的概念得出组合概念；

（2）通过分步计数原理和排列数公式推导出组合数公式。

2．教学难点：建立组合与排列的联系，结合两个计数原理推导组合数公式。

六、教学过程

教学

环节

教师活动

（一）创设情境

绵阳市教育局将举办一场关于大学自主招生的活动，学校只给每个班2个名额，一个去参加上午的活动，一个去参加下午的活动，但我们班有3个人想去，请问有多少种选派方式？

问题1:上述是一个什么样的计数问题？能否列举出所有结果？

（二）复习回顾

问题2：排列的概念？排列数公式？

（1）

排列的概念：一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

学生活动

列举结果：甲乙，甲丙，乙丙

学生思考，得到这就是一个排列问题，并列举出6种结果。

学生回忆以前所学知识，并积极主动回答问题．

2 设计意图

创

设

情

境

复

习

回

顾

通过容易混淆的问题引发认知冲突：有的学生认为是排列，而有的同学反对，觉得不要考虑顺序。通过对比、分析发现在现实生活中：排列已经不能满足计数的需要，而急需研究一种新的计数问题，从而引出新课。

复习排列的知识，为学习组合和组合数服务.

（2）排列数：

mAnn(n1)......(nm1)

n!

(nm)!

若上述问题改为“绵阳市教育局将举办一场关于大学自主招生的活动，学校只给每个班2个名额，但我们班有3个人想去，请问有多少种选派方式？”

问题3：能把结果一一列举出来吗？还是排列吗？

问题4：同学们能否再举些生活中类似的例子呢？

若干学生代表依次举例教师与学生共同分析并适时点评，补充

以“问题”引入，目的是引导学生通过与排列一节中相应问题的比较，在引出组合概念的同时，使学生体会组合概念与排列概念的联系

这里体现了数学抽象这一核心素养。

培养学生在情景中抽象出数学概念，积累从具体到抽象的活动经验，养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁，运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。

比较是一种常见的学习方法，让学生通过比较学习发现排列与组合的异同点

问题5：通过刚才的引例及几

位同学所举的例子，同学们能学生从相同点、不同点、完成一件事情的归纳出组合的定义吗？

步骤角度进行分析

（一）组合的定义

教师适时点评

抽象学生的举例，对比排列的定义，给出组合的定义：

学生说，教师板书

组合：一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素

合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组

合。

学生列举若干，学生

教师适时点拨问题6：请一位同学举出一些回答，组合或者排列的例子吗？如并适当评价

果是组合，请同学们把它该成

排列，如果是排列，请同学们把它改成组合。

问题7：你能说说排列与组合学生思考

之间联系与区别吗？

相同点：都是从n个不同元素

中取出m（mn）个元素

不同点：排列与元素的顺序有

关，组合与元素的顺序无关。

3

合

作

学

习

探

究

新

知

（二）组合数的定义

类比排列数，给出组合数的定义：

组合数：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。

问题8：如何计算组合数呢？m即Cn?

从特殊到一般的思想以及排列与组合的关系入手探究组合数公式

五．自主探究

（1）探究过程分3大组，分配任务如下：

第一大组探究从4个不同元素取出2个元素的组合数与排列数的关系。

第二大组探究从4个不同元素取出3个元素的组合数与排列数的关系。

第三大组探究从6个不同元素取出2个元素的组合数与排列数的关系。

（2）交流、展示探究成果：

每个大组派一个代表对本组的探究结果跟全班同学一起交流

（3）学生观察、归纳猜想公式、证明公式

（4）分析公式特点

（三）组合数公式

mAnn(n1)(n2)...(nm1)CmAmm!mn

检测课堂学习的学生思考

效果，通过师生角色的互换，构建和

谐的课堂氛围。体

现教师为主导，学生为主主体的新

课程理念

通过对比，类比，达到知识的迁移，

内化

学生在小组内进行这个探究体现了交流、讨论

逻辑推理这一核心素养。

这是从特殊到一般的推理。逻辑推

理得到数学结论，构建数学体系的学生代表一边投影结论。一边解释本组重要方式，是数学的探究成果，教师适严谨性的基本保证，是人们在数学时提问、总结

活动中进行交流的基本思维品质。

让学生体会用特殊到一般的方法解决问题的思路。同时通过小组分工、合作学习，加强团队合作精神及集体意识。

培养学生交流表达能力及分析问题，解决问题的能力

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n!

m!(nm)!

0规定：Cn132例1：

(1)计算C7；

C6(2)证明：Cnmm1m1Cn1. n1

运

用

新

知

巩

固

练

习

例2：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前有2人参加过比赛.按照足球的比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：

（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场的方案？

（2）如果选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？

（3）如果选出的11名队员中至少有1名队员是参加过比赛的，有多少种学员上场的方案？

巩固练习：在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件，

（1）有多少种不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？

抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？

培养学生的归纳猜想的能力，及推理论证能力

此题为组合数公式

的应用题，比较基

础，学生通过两种运

算方式即可求值.通

过这个题可总结出

什么情况下用展开

式，什么情况下用阶

乘式.

这样的设计符合荷兰数学家弗赖此题为组合和两个登塔尔的“思辨数基本计数原理的简学”理论，即从一单应用.学生应总结般到特殊再到一出做题的关键是考般的认知规律．

虑出完成这件事的

方式.

巩固组合和两个基

本计数原理的简单

应用.

体现了学以致用，让学生感受生活中处处有数学．

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总

结

提

炼

1.

组合和组合数的定义；

2.

组合与排列的关系；

回顾本节课研究思mm3.

排列数An与组合数Cn的路、所学知识．

关系；

4.

组合数公式. 作

业

布

置

教材习题1.2第2,9,10,11,14,15题．

遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，所以在课堂内及时总结识记是上策．

巩固当天所学知识，加强作业的针对性．

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