一 数学归纳法教案1

第49讲

数学归纳法

A级

11．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步应验证n等于(D)

2A．1

B．2

C．3

D．4

2．用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除，第二步假设应写成(D)

A．假设n＝k (k为正奇数)时命题成立，再推证n＝k＋1时命题成立

B．假设n＝2k＋1时

(k∈N*)命题成立，再推证n＝2k＋2时命题成立

C．假设n＝2k＋1时

(k∈N*)命题成立，再推证n＝2k＋3时命题成立

D．假设n＝2k－1时

(k∈N*)命题成立，再推证n＝2k＋1时命题成立

解：k为正奇数时，k＋1为正偶数，A不正确；

2k＋1为正奇数时，2k＋2为正偶数，B不正确；

2k＋1与2k＋3 (k∈N*)虽为相邻两正奇数，但1未包含其中，故C也不正确，应选D.

3．平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点．设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系为(D)

A．f(k＋1)＝f(k)＋k－1

B．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1

C．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2

D．f(k＋1)＝f(k)＋k

解：当k条直线再增加一条时，这条直线与前k条直线都有交点，故当增加一条直线时，就增加了k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k.

11114．设f(n)＝＋＋＋…＋

(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(D)

2nn＋1n＋2n＋311A.

B.

2n＋12n＋21111C.＋

D.－

2n＋12n＋22n＋12n＋2解：因为f(n)为从n＋1到2n之间的连续正整数的倒数之和，

11111所以f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，

2n2n＋12n＋2n＋2n＋3111故f(n＋1)－f(n)＝＋－

2n＋12n＋2n＋1＝11－.

2n＋12n＋21115．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋n1)，第一步要验证的不等式232－111是

1＋＋<2

.

236．若数列{an}的前n项和为Sn＝n2an(n∈N*)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝

2

.

nn＋12解：用不完全归纳法可得an＝.

nn＋1也可直接求出：

因为Sn＝n2an，所以Sn－1＝(n－1)2an－1(n≥2)，

两式相减得an＝n2an－(n－1)2an－1，

即ann－1＝(n≥2)，

an－1n＋1a2a3an2故an＝a1···…·＝.

a1a2an－1nn＋17．设a>0，f(x)＝ax，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.

a＋x(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；

(2)用数学归纳法证明你的结论．

解：(1)因为a1＝1，所以a2＝f(a1)＝f(1)＝aaa3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝.

2＋a3＋aa猜想：an＝.

n－1＋a(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．

a②假设n＝k时，猜想正确，即ak＝，

k－1＋aa·ak则ak＋1＝f(ak)＝

a＋akaa·k－1＋a＝

aa＋k－1＋a＝＝a

k－1＋a＋1a，

[k＋1－1]＋aa；

1＋a这说明，n＝k＋1时猜想也正确．

a由①②可知，对于任意n∈N*，都有an＝成立．

n－1＋aB级

8．某个命题与正整数n有关，若n＝k

(k∈N*)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得(C)

A．当n＝6时该命题不成立

B．当n＝6时该命题成立

C．当n＝4时该命题不成立

D．当n＝4时该命题成立

解：如果n＝4时命题成立，那么由题设，可推得n＝5时命题也成立，上面的判断作为一个命题，它的逆否命题是：如果n＝5时命题不成立，那么n＝4时命题也不成立，依据原命题等价于逆否命题，即原命题成立，则逆否命题也一定成立，应选C.

9．平面上有k个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不交于同一点，则在k个圆的基础上再增加一个圆，k＋1个圆将平面分成的区域在k个圆的基础上增加

2k

块．

解：当n＝k＋1时，平面上增加了第k＋1个圆，它与原来的k个圆的每一个圆都相交

于两个不同的点，共2k个交点，这2k个交点将第k＋1个圆分成2k段弧，每段弧将原来的一块区域隔成了两块区域，故区域共增加了2k块．

n10．设数列{n}的前n项和为Sn.

2(1)求Sn；

1(2)问是否存在自然数n0，使得对n>n0的一切自然数n都有Sn>2－？若存在，求最小n的自然数n0，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

123n解：(1)Sn＝＋2＋3＋…＋n，①

22221123nSn＝2＋3＋4＋…＋n＋1，②

22222由①－②得

11111nSn＝＋2＋3＋…＋n－n＋1

22222211[1－n]22n1n＝－n＋1＝1－n－n＋1.

12221－2所以Sn＝2－2n－1－n＝2－1n2n＋2.

2nn＋21nn＋21(2)要Sn>2－，只需n<，亦即<1.

n2n2n6×6＋2483①当n＝6时，＝＝<1成立．

26644kk＋2②假设当n＝k(k≥6)时不等式成立，即<1.

2k则当n＝k＋1时，

k＋1k＋3kk＋2k＋1k＋3＝·

＋2k2k12kk＋2k＋1k＋3<<1.

k＋22knn＋11由①②可知，当n>5时，<1，即Sn>2－.

n2nnn＋25×71而当n＝5时，＝>1，从而Sn<2－.

n232n1因此，存在最小的自然数n0＝5，对n>n0的一切自然数n都有Sn>2－成立．

n