一 比较法优秀教学设计

证明不等式的基本方法——比较法

教学目标：

1.

理解和掌握比较法证明不等式的依据；

2.

掌握利用比较法证明不等式的一般步骤；

3.

通过学习比较法证明不等式，培养学生对转化思想的理解和应用。

教学重、难点：

掌握并能熟练地运用作差比较法和作商比较法证明不等式；

教学设计：

目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

过程：

一、新课学习

1. 作差比较法的原理

要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

abab0

abab0

abab0

作差比较法步骤：①作差；②变形；③与0比较

2. 作商比较法的原理

若a0，b0，则

aab1

bababa1

ba1

b作商比较法步骤：①作商；②变形；③与1比较

二、教学过程

1

例1

若xR，求证：x233x

分析：可以把不等式两边相减通过适当的恒等变形，转化为一个能够明确确定正负的代数式。

33证明：x33xx3x3

22222233x

2430

4即：x233x0

2 x233x

小结：本题变形方法——配方法；

变形目的在于判断差的正负，而不必考虑值是多少。至于怎样变形，要灵活处理。

a例2

如果要用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖的质量分数为，若在上述溶液b中再加入mkg白糖，此时糖的质量分数增加到问题，并给出证明。

分析：已知a，b，m都是正数，并且ab，求证：am，将这个事实抽象成为数学bmama。

bmb证明：amam(ba)

bmbb(bm)ab，ba0

又

a，b，m都是正数

m(ba)0，b(bm)0

ama0

bmb小结：本题变形方法——通分法；

ama

bmbaam；bbmb，本题结论反映了分式的一个性质：若a，当ab时，则m都是正数，2

当ab时，则aam。

bbm例3

已知a，b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2。

证明：(a3b3)(a2bab2)(a3a2b)(ab2b3)

a2(ab)b2(ab)

(ab)(a2b2)

(ab)2(ab)

a，b都是正数，ab0

又ab，(ab)20

(ab)2(ab)0

a3b3a2bab2

小结：本题变形方法——因式分解法；

将两式的差写成若干个因式相乘的形式，通过判断每一个因式的正负，从而确定出这两个式子的大小。

作差比较法总结：

作差比较法是证明不等式的常见的基本方法之一，主要适用于：

①

多项式、分式不等式的证明；

②

在变形过程中往往采用配方、通分、因式分解等方法，将之转化为可判断正负时为止；

③

如：实数、因式乘积形式、平方和形式、对数式等。

a2b2ab

练习1

已知a0，b0，求证：baa2b2a3b3a2bab2ab证明：

baab(ab)2(ab)



aba0，b0

ab0，(ab)20

a2b2ab0

baa2b2ab

ba练习2

若实数x1，求证：3(1x2x4)(1xx2)2。

3

证明：3(1x2x4)(1xx2)2

33x23x41x2x42x2x22x3

2(x4x3x1)

2(x1)2(x2x1)

2132

2(x1)x

2413x1，(x1)20，x0

242132(x1)x0

24223(1x2x4)(1xx2)20

3(1x2x4)(1xx2)2

讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

例4

已知a，b都是正数且ab，求证：aabbabba。

分析：由于a，b都是正数，所以不等式两边都是正数，且两边均为指数形式，把它们相除并考察商式与1的大小关系。

abaabba证明：

baaabbbaabb

a1，ab0

b不妨设ab0，于是abab1

aabbabba

讨论：还需要讨论ba0吗？

不需要，根据要证不等式的特点，交换a，b的位置，不等式不变。

作商比较法总结：

①

作商比较法主要适用于不等式两边为乘积形式、幂、指数等形式的不等式的证明；

②

在变形过程中往往要注意作商的条件，即不等式两边同时大于零；

③

作商后结果和“1”比较。

练习3

当a,bR，求证：aabb(ab)ab2。

4

证明：ab(ab)abab2aab2bba2abab2

a①

当ab时，b②

当ab0时，ab21

ab2aaba1，0，b2b1

ab2③

当ba0时，0aaba1，0，b2b1

abab21

ab2aabb(ab)

练习4

当a0，b0，求证：证明：左边0，右边0

abbaab。

左边(a)3(b)3(ab)(aabb)

右边ab(ab)ab(ab)(aabb)ababba2ababab1



左边右边

ab

三、本节课小结

1. 比较法的两种形式

①

作差法：abab0；

abab0；

②

作商法：当b0时，aba1；

baab1。

b2. 比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是作差（或作商），变形，判断符号；“变形”是解题的关键，是最重要的一5

步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等，是“变形”的常用方法。

作差法证明时，通常是进行因式分解，利用各式的正负进行判断；作差法常用于代数式、分式不等式的证明；

作商法证明时。通常要考虑式子的正负，尤其是作为除式式子的值必须确定正负；作商法常用于幂指数、根式或乘积不等式的证明。

四、课后作业

课本23页第1、2、3、4题。

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