三 反证法与放缩法ppt课件教学实录

4—5《不等式》

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证明不等式的基本方法

学习目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式．

一、自主梳理

1．三个正数的算术—几何平均不等式：如果a，b，c>0，那么_________________________，当且仅当a＝b＝c时等号成立．

2．基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不a1＋a2＋…＋ann小于它们的几何平均，即≥a1·a2·…·an，当且仅当__________________时等n号成立．

3．二维形式的柯西不等式及推论：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立；a2＋b2c2＋d2≥|ac＋bd|，当且仅当ad＝bc时等号成立；a2＋b2c2＋d2≥|ac|＋|bd|，当且仅当________________时等号成立．

4．证明不等式的常用五种方法

(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小．

(2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．

(3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义

、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．

(4)反证法

①反证法的定义

先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．

②反证法的特点

先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾．

(5)放缩法

①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．

②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键．

二、自我检测

1．已知M＝a2＋b2，N＝ab＋a＋b－1，则M，N的大小关系为(

) A．M>N

B．M

C．M≥N

D．M≤N

2．(2011·滨州调研)设a>b≥0，p＝a－b，q＝a－b，那么(

) A．p≤q

B．p≥q

C．p

D．p、q大小关系不定

bd3．若a、b、c、d、x、y均是正实数，且P＝ab＋cd，Q＝ax＋cy·＋，则(

) xyA．P＝Q

B．P≥Q

C．P≤Q

D．P>Q

44．已知a>b>0，n∈N*，则使不等式a2－n≥2成立的n的最大值为(

) b－abA．4

B．8

C．10

D．16 abc5．(2011·南阳月考)已知a，b，c>0，且a＋b>c，设M＝＋，N＝，则M4＋a4＋b4＋c

与N的大小关系是__________________________________________________________.

三、【典例分析】

探究点一

比较法证明不等式

ab例1

已知a>0，b>0，求证：＋≥a＋b. ba

变式迁移1

(2011·福建)设不等式|2x－1|<1的解集为M. (1)求集合M；

(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．

探究点二

用综合法证明不等式

例2

设a、b、c均为正数，求证：

111111＋＋≥＋＋. 2a2b2cb＋cc＋aa＋b

变式迁移2

设x是正实数，求证：

(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3.

探究点三

用分析法证明不等式

a－b2a＋ba－b2例3

(2011·武汉模拟)已知a>b>0，求证：<－ab<. 8a28b

变式迁移3

已知a>0，求证：

11a2＋2－2≥a＋－2. aa

四、【课堂训练】

一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2011·烟台月考)已知a、b、m∈R＋且a>b，则(

) aa＋mA.>

bb＋maa＋mB.＝

bb＋maa＋mC.<

bb＋maa＋mD.与间的大小不能确定

bb＋m2．(2010·黄冈期中)设a、b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(

) 22a＋ba2＋b2A.

B．ab<<1 22a2＋b2a2＋b2C．ab<1<

D．1≤ab≤

223．设a∈R且a≠0，以下四个式子中恒大于1的个数是(

) 11①a3＋1；②a2－2a＋2；③a＋；④a2＋2. aaA．1

B．2

C．3

D．4 4．(2011·保定调研)在下列不等式中，一定成立的是(

) A．48a<84b

B．aabb>abba

2322m＋1C．a>a－a＋1

D．(5＋2)m<

2－3二、填空题(每小题4分，共12分) 115．(2011·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋2)(2＋4y2)的最小值为________．

yx116．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8x＝lg 2，则＋的最小值为________．

x3y7．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x>y，则实数a，b应满足的条件为__________________．

三、解答题(共43分) 8．(10分)已知x，y，z均为正数，求证：

xyz111＋＋≥＋＋. yzzxxyxyz

9．(10分)(2011·包头模拟)已知正数a、b、c满足a＋b<2c，求证：

c－c2－ab

1110．(10分)若a＋b＝1，求证：

a＋＋b＋≤2. 22

11．(13分)已知实数x、y、z不全为零．求证：

3x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋z2＋zx＋x2>(x＋y＋z)．

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五、【课堂小结】