3.三个正数的算术-几何平均不等式教学目标设计

选修4-5学案 §1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式 ☆学习目标：1. 理解并掌握重要的基本不等式; 2. 理解从两个正数的基本不等式到三个正数基本不等式的推广; 3. 初步掌握不等式证明和应用

☻知识情景：

22 1．定理1 如果a,bR, 那么ab2ab.当且仅当ab时, 等号成立. 2. 定理2(基本不等式) 如果a,bR☆热身：

ab,那么2ab，当且仅当ab时,等号成立. ⑴

某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x的函数关系为y(x6)211(xN),则每辆客车营运多少年，其运

营的年平均利润最大（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6 22y2 ⑵

设xR且x1，求x1y的最大值. 2

☻建构新知：

[☆探究：（类比）如果a,bR,

那么ab2ab.当且仅当ab时, 等号成立. 如果a,b,cR,那么 .当且仅当 时, 等号成立. 问题：已知a,b,cR, 求证：abc3abc.当且仅当abc时, 等号成立. 证明:

定理3：如果a,b,cR, 那么333abc3abc, 当且仅当abc时, 等号成立. 3 定理3的文字表述: 推论：对于n个正数a1,a2,,an, 它们的

即 当且仅当abc时, 等号成立 [基础自测] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．

a＋b＋c3(1) 如果a，b，c∈R，那么≥abc.(

) 3a＋b＋c3(2) 如果a，b，c∈R，那么≥abc，当且仅当a＝b或b＝c时，等号成立．(

) 3＋a＋b＋c＋(3) 如果a，b，c∈R，那么abc≤3，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．(

) n3(4) 如果a1，a2，a3，…，an都是实数．那么a1＋a2＋…＋an≥n·a1a2…an.(

)

1

abc2．已知a，b，c为正数，则＋＋的(

) bcaA．最小值为3

B．最大值为3

C．最小值为2

D．最大值为2 10≤x≤的最大值是(

) 3．函数y＝x2(1－5x)524A．4

B.

C.

1567594．若x＞0，则4x＋2

的最小值是(

) x3A．9

B．336

C．13

D．不存在

xxx275．若x＞0，则＋＋＋3______4. 333x

[典例精析] 类型1

利用定理3求函数的最值(自主研析) [典例1]

已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．

22231422212x＋1－x＋1－x解：因为y＝x(1－x)，所以y＝x(1－x)＝×2x(1－x)(1－x)≤＝. 22327222225D.

2当且仅当2x2＝1－x2，即x＝归纳升华

32323时等号成立．所以y≤，所以ymax＝. 3991．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑：

11x＋2－2x＋1＋x31y＝x(1－x)＝x(1－x)(1＋x)＝·x(2－2x)·(1＋x)≤223＝2. 2虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，

显然x＝2－2x＝1＋x无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑是不正确的．

3axaxccccaxaxc2．求函数y＝ax＋2的最小值，其中ax＞0，2＞0，则y＝ax＋2＝＋＋2≥3 ··bxbxbx22bx22bx232c332a2caxc＝

，当且仅当＝2，即x＝时，等号成立．

2b2bxab3．拼凑数学结构，以便利用基本不等式求最值，是必须掌握的方法，但要注意拼凑的合理性．

在三个正数的算术—几何平均不等式中，也要满足“一正、二定、三相等”的条件，缺一不可．

4[变式训练]

若2a＞b＞0，试求a＋的最小值．

（2a－b）b2a－b＋b2a－bb444解：a＋＝＋＝＋＋

222（2a－b）b（2a－b）b（2a－b）b32a－bb4≥3···＝3，

22（2a－b）b

2

2a－bb4当且仅当＝＝，即a＝b＝2时取等号．

22（2a－b）b4所以当a＝b＝2时，a＋有最小值，最小值为3. （2a－b）b类型2

利用定理3证明不等式

111[例2] 设a，b，c为正实数，求证：3＋3＋3＋abc≥23. abc讲明：因为a，b，c为正实数，由三个正数的算术—几何平均不等式可得：

31111111113，

3＋3＋3≥3 3·3·3，即3＋3＋3≥abcabcabcabc11133111所以3＋3＋3＋abc≥＋abc≥2·abc＝23，所以3＋3＋3＋abc≥23，

abcabcabcabc6当且仅当a＝b＝c＝3时，等号成立．

11122＋2＋2(a＋b＋c)≥27.

[变式训练]

设a，b，c为正数，求证：abc33证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以a＋b＋c≥3abc＞0，从而(a＋b＋c)2≥9a2b2c2＞0. 311111131132又2＋2＋2≥3所以a2＋b2＋c2(a＋b＋c)≥39a2b2c2＝27. 222＞0，222·abcabcabc当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

[课堂小结] 1．三个正数或三个以上正数的不等式的应用条件．

(1) “一正”．不论是三个数的或者n个数的算术—几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式33是不成立的，如a＋b＋c≥3abc，取a＝b＝－2，c＝2时a＋b＋c＝－2，而3abc＝6，显然－2≥6不成立．

(2) “二定”．包含两类求最值问题：一是已知n个正数的和为定值(即a1＋a2＋…＋an为定值)，求其积a1·a2·…·an的最大值；二是已知积a1·a2·…·an为定值，求其和a1＋a2＋…＋an的最小值．

(3) “三相等”．取“＝”的条件是a1＝a2＝…＝an，不能只是一部分相等．

2．重要不等式a2＋b2≥2ab与a3＋b3＋c3≥3abc的运用条件不一样，前者a，b∈R，后者a，b，c∈

R，要注意区别．

3．注意算术—几何平均不等式中的变形与拼凑方法．

＋

A级

基础巩固

一、选择题

11．已知x∈R＋，有不等式：x＋≥2x

14xx43xx4x·＝2，x＋2＝＋＋2≥3··＝3，….启发我们可xx22x22x23

a能推广结论为：x＋n≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为(

) xA．nn

B．2n

C．n2

D．2n1

＋解析：，要使和式的积为定值，则必须nn＝a.

答案：A 12．若a＞b＞0，则a＋的最小值为(

) b（a－b）A．0

B．1

C．2

D．3 11解析：因为a＋＝(a－b)＋b＋≥3b（a－b）b（a－b）当a＝2，b＝1时取等号，所以a＋＋31（a－b）·b·＝3，当且仅b（a－b）1的最小值为3. 答案：D b（a－b）3．设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg x＋lg z的取值范围是(

) A．(－∞，lg 6]

B．(－∞，3lg 2]

C．[lg 6，＋∞)

D．[3lg 2，＋∞)

x＋y＋z解析：因为lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，而xyz≤＝23，

3所以lg x＋lg y＋lg z≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．答案：B 4．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为(

) 33A．36

B．22

C．12

D．125 解析：2＋4＋8＝2＋2＋2≥326＝12. 当且仅当x＝2y＝3z＝2时等号成立．答案：C 5．设x，y，z＞0，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值为(

) A．2

B．7

C．8

D．1 xxx6解析：因为6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6x2y3z，所以x2y3z≤1，当＝y＝4z时，取“＝”，

2221即x＝2，y＝1，z＝时，x2y3z取得最大值1. 答案：D 4二、填空题

6．已知正数a，b满足ab2＝1，则a＋b的最小值是________．

bb解析：因为a，b是正数，ab2＝1，所以a＋b＝a＋＋≥3

223xyzx2y3z33ab233＝2.

422133ab＝1，a＝2，33322故a＋b的最小值是2，当且仅当b即时取到最小值．答案：

22a＝，32b＝250＜x＜的最大值是________．

7．函数f(x)＝x(5－2x)22

4

114x＋5－2x＋5－2x250解析：f(x)＝×4x(5－2x)(5－2x)≤443＝27，

5当且仅当4x＝5－2x，即x＝时，等号成立．

652502500＜x＜的最大值为. 答案：

故函数f(x)＝x(5－2x)222727118．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤；②≥27；

27abc1③a2＋b2＋c2≥. 其中正确的不等式序号是________．

3111解析：因为a，b，c∈(0，＋∞)，所以1＝a＋b＋c≥3abc，0＜abc≤＝，327abc≥27，从而3①正确，②也正确．又a＋b＋c＝1，所以a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝1，

1因此1≤3(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥，③正确．答案：①②③

3三、解答题

9．θ为锐角，求y＝sin θ·cos2θ的最大值．

1124解：y2＝sin2θcos2θcos2θ＝·2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ)≤＝. 22327当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sin θ＝22333323时取等号．所以ymax＝. 39211110．已知a，b，c均为正数，证明：a＋b＋c＋a＋b＋c≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立．

2证明：因为a，b，c均为正数，由算术—几何平均不等式，得a＋b＋c≥3(abc)3，①

2222111211112＋＋≥3(abc)－.

所以a＋b＋c≥9(abc)－.②

abc3322211122＋＋≥3(abc)3＋9(abc)－.

又3(abc)3＋9(abc)－≥227＝63，③

故a＋b＋c＋abc33222所以原不等式成立．

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．

22当且仅当3(abc)3＝9(abc)－时，③式等号成立．

34即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．

B级

能力提升

1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是(

) 11A．V≥π

B．V≤π

C．V≥π

D．V≤π

88

5

6－4r解析：设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝，

26－4rr＋r＋3－2r32所以圆柱的体积为V＝πr·h＝πr·＝πr(3－2r)≤π23＝π.

22当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．答案：B 2．若a＞2，b＞3，则a＋b＋1的最小值为______．

（a－2）（b－3）解析：因为a＞2，b＞3，所以a－2＞0，b－3＞0，

11则a＋b＋＝(a－2)＋(b－3)＋＋5 （a－2）（b－3）（a－2）（b－3）≥331（a－2）×（b－3）×＋5＝8. （a－2）（b－3）1当且仅当a－2＝b－3＝，即a＝3，b＝4时等号成立．答案：8 （a－2）（b－3）3．求函数y2x解一:y2x223,(x0)的最大值，指出下列解法的错误,并给出正确解法. x[来源:学科网ZXXK]3121232x2332x2334. ∴ymin34．xxxxx

331233解二:y2x222x226x当2x23即x12时, ymin262331226324．xxx22[来源:学科网ZXXK]

正解:

6