探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最大优质教案设计

广东仲元中学高中数学教学设计

编写人：许鲔潮

审稿人：高二数学备课组

编写时间：2019-6-15 课题：2.2.3探究与发现：服从二项分布的随机变量取何值时概率最大

一、教学内容分析

概率统计题近几年都是得分率非常低的压轴题，难度系数己经比传统的两类压轴题函数和解几要低，2019年的高考更是直接出现在最后一道压轴题的位置，课程标准对“概率与分布列”等内容的要求是：“初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察，分析问题的意识”，从这要求看，是比较高的，要求学生在理解的基础上可以进行适度的知识迁移，重点考查学生灵活应用知识和类比迁移的能力. 人教A版选修2-3中在第二章随机变量及其分布中安排了：2.1离散型随机变量及其分布列；2.2二项分布及其应用，这两节的内容与“概率及分布列”有主要关系，也是本章的核心知识所在.课本上在2.2.2节介绍了事件的相互独立性后安排了例3，起了一个铺垫作用，在2.2.3介绍了随机变量X服从二项分布后，介绍了例4：“某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率”，然后课本58页“探究与发现”中利用例4的题目引入本课题的探究，在“思考”中让大家考虑一般二项分布，怎样求概率的最大值，本节课在编排上属于比较边缘的知识点，很多学校都是直接跳过或简略说明，但其在内容上起到小结归纳，反思提高，渗透方法的作用.不容小视. 二、学生学习情况分析

教学对象是广东仲元中学高二级重点班学生，他们思维活跃，数学基础扎实，勇于挑战.在教学中，主要是采用导学案的方式，利用类比与迁移的方法，帮助学生理解、掌握本节课内容. 三、教学目标

1. 知识技能：

（1）进一步理解二项分布的概念，规范概率题的答题；

（2）通过代数运算，掌握二项分布中随机变量最可能值的计算公式；

（3）掌握和运用随机变量最可能值，并能解决相关问题；

2. 过程与方法：

（1）培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力；

（2）使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法。

（3）初步培养学生从情景中提炼“数学模型”的能力。

3. 情感、态度与价值观：

（1）通过对概率最可能值的推导，体验用代数方法解决问题的过程；

（2）通过类比和迁移的引入，培养学生联系、对应、转化等辩证思维；

（3）激发学生勇于尝试，敢于挑战的数学学习热情。

四、教学重点与难点

重点：理解最可能值的概念及推导过程，掌握最可能值的计算公式；

难点：掌握和运用最可能值的推导，并能完成类比和迁移. 五、教学过程设计

【导语】在前面的学习中我们己经学习了离散型随机变量的分布列的概念及一个重要的分布：二项分布，它是一个非常广泛的应用，在日常生活生产中无处不在，比如从一批数量很大，次品率p0.2的产品中，每次任抽10个进行抽查，若我们关心的是这10个产品中的次品个数，则所有可能取的值有：0,1,2,3,,10且它们的可能性大小不同，在生产中我们最关心的是可能性最大的次品个数k是多大（为了表述方便，我们后面都称这样的k值是随机变量的最可能值）再如后面的例4、我们班有23名女生，问：生日在6月份的最大可能是几个人？这些问题都是我们今天要探究的最可能问题

【目标导引】展示学习目标

【自主学习】复习回顾

一）、复习回顾

1.二项分布及其分布列

在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是PkCnq列如下（填空）：

k1kpk，其中k0,1,,n，q1p.于是得到随机变量的分布

由于随机变量取各个值时概率恰好是二项式qp展开式中各项，所以我们称这样的随机变量服从二项分布，记作nBn,p.

二项分布是一类相当重要的分布，因为服从二项分布的随机变量在生产实际中是很广泛地存在着的，如最常见的就是产品检验；另一方面它也是在理论上被研究得最早且较深入的一类.对于服从二项分布的随机变量，当取什么值时其概率最大，即求出k，使得对应

的概率PkCnqk1kpk最大.为了表达方便，下面我们都把这个k称为最可能值. 【设计意图】让学生进一步理解二项式定理与二项分布的关系，另一方面让学生复习二项分布的表达，为后面规范学生的答题作铺垫. 2.求数列中的最大项

【问题】在数列an中

（1）若通项公式满足ann24n1，则其最大项为______,这时对应的n为______；

（2）若通项公式满足ann23n1，则其最大项为______,这时对应的n为______；

【预设结果】 解一：图象

解二：求an1an，分别讨论其值与0的关系，解得对应的n；

解三：求an1，分别讨论其值与1的关系，但注意同号解得对应的n；

an二）、探究新知

我们以课本P58探究与发现为例探究最可能问题

例1、如果某射手每次射击击中目标的概率为0.8，每次射击的结果相互独立，那么他在10次射击中，最有可能击中目标几次？

【学生活动】先自主推导，小组讨论比较答案. 【设计意图】本题为课本例题，通过本题具体化的情景为后面例2一般化的推导构建最近发展区. 【探究猜想】猜测是否与二项式系数类似，符合杨辉三角的规律？

课本解法有瑕疵，0k10范围有问题，应为1k10，还可以有如下改进版解法：设他在10次射击中，击中目标的次数为x，由于射击中每次射击的结果是相互独立的，因此xB10,0.8，于是恰好k次击中的概率为：

kPxkC100.8k0.210k,0k9

从而Pxk110k0.87.8k1,0k9

Pxkk0.20.2k10.2Pxk11即Pxk1Pxk，

Pxk于是，当k7.8时，即Px1Px2当k7.8时，Px8；

Pxk11，即PxkPxk1

Pxk

即Px8Px9Px10

故该射手在10次射击中，最有可能击中目标的次数为8次. 【教师点评】

与二项式系数类似，但不完全符合杨辉三角的规律，明显的向右偏转，是否每次都是向右偏，还是有某种规律？为此我们将问题一般化得如下例题：

例2、随机变量其中0p1，考察当k由0增加到n时，对应概率PkBn,p，的变化情况；当k取什么值时，对应概率Pk取得最大值？

【分析】：为讨论一般规律，我们计算随机变量取相邻两个值k和k1的概率变化情况. k1k1nk1Pk1Cnpqnkp当0kn时，由复习回顾2可得有如下情况：

，kknkPkCnpqk1q1）、当Pk11，可得nkpk1q，

Pk即knpq时，有Pk1Pk；

2）、当Pk11，可得nkpk1q，

Pk即当knpq时，有Pk1Pk；

Pk13）、当1，可得nkpk1q，

Pk即当knpq时，有Pk1Pk；

【学生活动】同例1自主推导，小组讨论汇总结果，学生发言投影部分学生解法

【多媒体】投影部分学生解法，展示matlab二项分布密度分布图象

【效果预计】本过程计算有两个难点，第一个：学生在处理nkpk1q化简时，可能会有难度，主要是利用分离变量的方法npqkqkpkpqk；第二个难点：k1k1nk1Pk1CnpqkknkPkCnpqn!pk1!nk1!k!nk!pnkp

n!k1!nk1!qk1qqk!nk!【教师点评】也就是说，若npq0，则存在k0使得knpq，

1、

如果npq恰为某一整数k0，那么由2）可知，此时对应的概率

Pk0Pk01，相邻的两个值k0，k01同使概率Pk达到最大值. 2、

如果npq不为整数，则由1）可知此时概率Pk先是随着k的增大而逐渐增大，到knpq,(表达高斯取整函数，如2.12,3.93)，这时还是knpq，故

概率Pnpq1Pnpq，Pnpq1达到最大，然后再由3）可知，当k再增大时，概率Pk就逐渐变小了.最可能值为k0npq1



【问题】如何理解npq这个量？是不是类似于二次函数的对称轴？

【教师引导】有如下两方面理解：1、类似于数列的离散性，两个项在对称轴的左右边，但一样符合单调性；2、随机变量的分布列不一定具有二次函数的对称性（类似于极值点左右偏）.但可以理解为临界点.

三）、知识构建

【教师引导】由上式的讨论我们对这个问题是否己经解决了？非也非也，我们知道，离散型随机变量实际上一类特殊的数列，也是一种特殊的函数，所以它还有着定义域的限制，如:

npq0有可能成立吗？成立！当p很小的时候，有可能npq0. npqn有可能成立吗？这个不可能，因为0p1,0q1，所以npq不可能比n大，但是否一定要比n大呢？否，只要判断npqn1是否成立：一方面从定义域看0kn，最大只能kn1；另一方面只要npqn1，根据上面讨论1)知当knpq时，有Pk1Pk，n1npq可得Pn11Pn1，这时P0P1P2Pn1Pn

由上式的讨论我们对这个问题完善如下: ①若npq0，此时上述的1），2）中的k不再存在，那么随着k的增大，概率Pk只能逐渐减少，即有

P0P1P2Pn，即首项P0qn为最大. ②

若npq0，如果npq恰为某一整数k0，那么由2）可知，此时对应的概率Pk0Pk01，相邻的两个值k0，k01同使概率Pk达到最大值.若npq非整数，则k0npq1,概率Pk0达到最大，然后再由3）可知，当k再P0P1Pk0增大时，概率Pk就逐渐变小，即.此Pk0Pk01Pn时最可能值为k0npq1，此时对应的概率Pk0Cn0qknk0pk0. ③若npqn1，（注意不是n，具体参照复习回顾2），我们有这样的规律：P0P1P2Pnpn为最大. Pn1Pn，即最后一项【学生活动】教师引导，学生思考口头归纳，多媒体展示. 【设计意图】完善最可能值的通性通法，重视培养数学的严谨性思维和规范表达. 例3.试求当n10时，p0.04,0.2,4,0.98时，服从二项分布的随机变量的最可能值. 11解：

由于n10，p0.04时，npq100.040.960.560，所以首项P00.96为最大，此时的最可能值为0；

10

p0.2时，npq100.20.81.2，此时npq1.21所以2P2C100.80.2为最大，此时的最可能值取npq12；

82p4473，此时npq33所以时，npq101111114641047此时的最可能值有两个，分别是3和4；

P3P4C为最大，1111p0.98时，npq100.980.029.789，所以P100.98为最大，此时的最可能值取10. 【学生活动】小组合作，自愿展示. 【设计意图】针对四种情况进行巩固训练，强化理解. 10四）、迁移应用

11迁移应用一：我们班有23名女生，问：生日在6月份的最大可能是几个人？（

0.147）12解：记生日在6月份这一事件为A，记23名女生中生日在6月份的人数为，把每个人的出生作为一个随机试验来看，我们关心的是生日是否在6月份，即A是否出现.假设人在一年中的12个月中出生的概率相同，即PA此时npq232211n23，p，，由独立重复试验概型，12121111，恰好为整数，由上可知可能的最可能值是1和2，即生日1212在6月份的最大可能是1个人或2个人，其概率为

1111P1P2C230.2826. 1212221【学生活动】

现在统计班级女生实际生日人数，有如下附加情况，引导学生从概率的角度进行理解. 【预设结果】：现场统计实际情况，如果人数不对，可计算如没有人生日在6月份，或超过0111两个人生日在6月份，分别为P0C230.13475. 1212230P21P0P1P20.3. 【设计意图】通过身边生活例子，增加学生学数学的热情. 迁移应用二：（课后探究）、二项分布的最可能值我们己探究，能否用类似的思想探究超几何分布？是否也有类似结论？

例如：试写在有20个正品，5个次品的一批产品中任取5个，试写出其中次品个数的分

布列，并指出其最可能值. 【设计意图】课后探究，利用类比与迁移，激发学生勇于尝试，敢于挑战的学习热情. 5kkC20C5【预设效果】与二项分布最可能值类似. Pk,k0,1,5C25,5临界值为kM1n11. N2五）、小结与收获

【学生活动】由学生自由发言，讨论总结本节课的收获. 【教师点评】概率与统计这部分近三年己经升级为压轴题，很多学生根本无法下笔，有一定的原因是过于习惯套路式的概率统计，而忽视了对概念本身的理解.近几年的概率统计题大多可以在课本找到出处，只是有些是处于边缘知识点或非套路式的知识，比如今天我们本节课的内容：服从二项分布的随机变量取何值时概率最大，在求解过程中包含了对二项分布概念的理解，对数列概念及最值的理解，以及类比迁移，转化，建模思想等等

【预设结果】

（一）基本知识：1、最可能值的求法；2、最可能值的公式

（二）思想方法：1、分类讨论；2、类比、归纳、推理；3、由特殊到一般

六）、课后巩固练习

1、设随机变量服从二项分布（1）n10,pBn,p，讨论

k,k1,2,,10；

11k,k1,2,,12；

（2）n20,p13k,k1,2,,11；

（3）n20,p12当k为何值时，有两个最可能值？

2、掷一枚不均匀硬币，设出现反面（记为A）的概率PA反面出现的次数的分布列，并讨论它的最可能值. 3、例5（课后探究）试写在有20个正品，5个次品的一批产品中任取5个，试写出其中次品个数的分布列，并指出其最可能值. 4、（选做，高难度挑战题，2013年安徽卷压轴题原题见后附，难度系数0.12，因原题情景不贴近我们高中生的实际，现将其表述为我们熟悉的“摸球问题”）

盒子里有颜色不同的n个球，小李随机从盒子里面拿出k个球，放回后，小张再从盒子里面随机拿出k个球（n和k都是固定的正整数）.记小李或小张摸到不同颜色球的个数为X. (I)求小李或小张摸到不同颜色球的概率；

(II)求使PXm取大最大值的整数m. 1，试写出抛掷此硬币n次，3

【设计意图】本题作为选做题，是对学有余力的同学一种另外的“加餐”和挑战.原题目是2013年安徽省21题，难度系数0.12，全省没有一个人拿满分.但其方法和命题依据都来源于本节课内容，可以看出高考命题者的命题思路和方向.但原题要求学生具有很强的抽象思维能力，从命题的角度看造成学分丢分的原因：学生不熟悉问题情景“某高校数学系”“心理测试活动”，都是高中生陌生并且大部分学生害怕的“数学系”和“心理测试”，增加了学生从情景中提炼“数学模型”的负担和时间，不贴合高中生的实际，因些可以用学生都熟悉的“摸球问题”作为情景，只不过实际意义逊色一点.

附：2013年安徽省21题：某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，己知该系共有n位学生，每次活动均需要该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的消息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知消息的学生人数为X. (1)

求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；

(2)

求使PXm取得最大值的整数m.